24. (阅读理解题)【阅读材料】把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.
例如：① 用配方法因式分解：$a^2 + 6a + 8$.
解：$a^2 + 6a + 8 = a^2 + 6a + 9 - 1 = (a + 3)^2 - 1 = (a + 3 + 1)(a + 3 - 1) = (a + 4)(a + 2)$.
② 求 $a^2 + 6a + 8$ 的最小值.
解：$a^2 + 6a + 8 = a^2 + 6a + 9 - 1 = (a + 3)^2 - 1$.
因为 $(a + 3)^2 ≥ 0$,
所以 $(a + 3)^2 - 1 ≥ -1$,
即 $a^2 + 6a + 8$ 的最小值为 -1.
请根据上述材料解决下列问题：
(1) 在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：$a^2 + 4a +$.
(2) 利用上述方法进行因式分解：$a^2 - 10a + 21$.

(3) 求 $4x^2 + 4x + 5$ 的最小值.

(1)4 解析:a² + 4a + 4 = (a + 2)².故答案为4.
(2)解:a² - 10a + 21 = a² - 10a + 25 - 4=(a - 5)² - 4=(a - 5 + 2)(a - 5 - 2)=(a - 3)(a - 7).
(3)解:4x² + 4x + 5 = 4x² + 4x + 1 + 4=(2x + 1)² + 4.因为(2x + 1)² ≥ 0,所以(2x + 1)² + 4 ≥ 4,即4x² + 4x + 5的最小值为4.

25. 如图①,在边长为 $a$ 的正方形中作一个边长为 $b$ ($a ＞ b$) 的正方形,则余下的阴影部分面积等于一个以 $(a + b)$ 为长、$(a - b)$ 为宽的长方形面积,如图②.

【探究】
(1) 请列式表示：图①中阴影部分的面积为,图②中阴影部分的面积为；根据两图中阴影部分的面积相等,可以得到乘法公式.
【应用】
(2) 根据(1)中的公式解决如下问题：
① 若 $a + b = 4$,$a - b = 2$,则 $a^2 - b^2 = $；
② 计算：$(2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)×(2^8 + 1)×…×(2^{2026} + 1)$.

(1)a² - b²；(a + b)(a - b)；a² - b²=(a + b)(a - b) 解析:题图①中阴影部分的面积为两个正方形的面积差.因为大正方形的面积为a²,小正方形的面积为b²,所以题图①中阴影部分的面积为a² - b².题图②中的阴影部分是长方形.因为长方形的长为a + b,宽为a - b,所以题图②中阴影部分的面积为(a + b)(a - b).根据两图中阴影部分面积相等,可得a² - b²=(a + b)(a - b).故答案为a² - b²;(a + b)(a - b);a² - b²=(a + b)(a - b).
(2)①8 解析:因为a + b = 4,a - b = 2,所以a² - b²=(a + b)(a - b)=4×2 = 8.故答案为8.
②解$:(2 + 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1)×(2⁸ + 1)×…×(2^{2026}+1)=(2 - 1)×(2 + 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1)×(2⁸ + 1)×…×(2^{2026}+1)=(2² - 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1)×(2⁸ + 1)×…×(2^{2026}+1)=(2⁴ - 1)×(2⁴ + 1)×(2⁸ + 1)×…×(2^{2026}+1)=(2⁸ - 1)×(2⁸ + 1)×…×(2^{2026}+1)=…=2^{4052}-1.$