【例3】如图23 - 2 - 1 - 3,已知 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 关于点 $ O $ 对称,点 $ A_1 $ 的位置已给出,画出点 $ O $ 和 $ \triangle A_1B_1C_1 $。

解题关键 连接对应点 $ A $ 和 $ A_1 $,线段 $ AA_1 $ 的中点即为点 $ O $,再分别找出点 $ B $,点 $ C $ 的对应点并连接起来,即可得出 $ \triangle A_1B_1C_1 $。

答题卡：
1. 连接 $A$ 和 $A_1$，找到其中点，标记为点 $O$。
2. 连接 $B$ 点并延长至 $B_1$，使 $O$ 是 $BB_1$ 的中点，得到点 $B_1$。
3. 连接 $C$ 点并延长至 $C_1$，使 $O$ 是 $CC_1$ 的中点，得到点 $C_1$。
4. 依次连接 $A_1$，$B_1$，$C_1$，形成 $\triangle A_1B_1C_1$。
图（略）。

1. 下列图形中,$ \triangle A'B'C' $ 与 $ \triangle ABC $ 成中心对称的是()

A

2. 如图23 - 2 - 1 - 4,在 $ □ ABCD $ 中,对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ O $,则图中成中心对称的三角形共有()

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

A

在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，则$O$为$AC$、$BD$的中点。成中心对称的三角形有：$\triangle AOB$与$\triangle COD$，$\triangle AOD$与$\triangle COB$，$\triangle ABC$与$\triangle CDA$，$\triangle ABD$与$\triangle CDB$，共4对。
A

3. 如图23 - 2 - 1 - 5,在平面直角坐标系中,若 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 关于点 $ E $ 成中心对称,则对称中心 $ E $ 的坐标是。

(3,-1)

4. 如图23 - 2 - 1 - 6,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEC $ 关于点 $ C $ 成中心对称,若 $ AC = 1 $,$ AB = 2 $,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,则 $ AE $ 的长是______。

$2\sqrt{2}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AC=1$，$AB=2$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。
因为$\triangle ABC$和$\triangle DEC$关于点$C$成中心对称，所以$AC=CD=1$，$BC=CE=\sqrt{5}$，$\angle ACB=\angle DCE$。
则$\angle ACE=\angle ACB+\angle BCE=\angle DCE+\angle BCE=\angle BCD$，又因为$\triangle ABC$与$\triangle DEC$中心对称，所以$\angle BAC=\angle EDC=90^{\circ}$，$AB=DE=2$，$AC=DC=1$，故$\triangle BCD$是由$\triangle ABC$平移得到（此处表述不准确，应为中心对称性质可得对应边相等，对应角相等），实际由中心对称直接可得$AE$的连线经过点$C$，且$AC=CD$，$EC=BC$，但更简便的是：
连接$AD$，因为中心对称，所以$C$为$AD$中点，$AC=CD=1$，则$AD=2AC=2$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AD=2$，$DE=AB=2$（中心对称对应边相等），$\angle ADE=90^{\circ}$（对应角相等），所以$AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$