22. (8 分)2022 年 2 月 20 日,北京冬奥会闭幕.北京市某学校团委决定从某商店购买 A,B 两种奖品,用于表彰在冬奥会宣传活动中表现突出的学生.已知 A 奖品比 B 奖品每件多 25 元,预算资金为 1 700 元,其中 800 元购买 A 奖品,其余资金购买 B 奖品,且购买 B 奖品的数量是 A 奖品的 3 倍.
(1) 求 A,B 两种奖品的单价;
(2) 购买当日,正逢该店搞促销活动,所有商品均按原价 8 折销售,学校团委调整了购买方案:不超过预算资金,且购买 A 奖品的资金不少于 720 元,A,B 两种奖品共 100 件.问:购买 A,B 两种奖品的数量,有哪几种方案?

(1)设B奖品单价为$x$元，则A奖品单价为$(x+25)$元。
购买A奖品数量：$\frac{800}{x+25}$，购买B奖品数量：$\frac{1700-800}{x}=\frac{900}{x}$。
由题意得：$\frac{900}{x}=3×\frac{800}{x+25}$，
解得$x=15$，经检验$x=15$是原方程的解。
A奖品单价：$15+25=40$元。
答：A奖品单价40元，B奖品单价15元。
(2)促销后A单价：$40×0.8=32$元，B单价：$15×0.8=12$元。
设购买A奖品$m$件，则购买B奖品$(100-m)$件。
由题意得：
$\begin{cases}32m\geq720\\32m+12(100-m)\leq1700\end{cases}$
解得$22.5\leq m\leq25$，$m$为整数，
$\therefore m=23,24,25$。
方案：
①A23件，B77件；
②A24件，B76件；
③A25件，B75件。
答：有3种方案。

23. (8 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AC 是对角线,$\angle CAB = 90^{\circ}$,以点 A 为圆心,以 AB 的长为半径作$\odot A$,交 BC 边于点 E,交 AC 于点 F,连接 DE.
(1) 试判断直线 DE 与$\odot A$的位置关系,并证明;
(2) 若$\angle ABC = 60^{\circ},AB = 4$,求阴影部分的面积.

(1) 相切；(2) $4\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi$

(1) DE与$\odot A$相切。
证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，∠ABC=∠DAE（内错角相等）。
∵AE=AB（$\odot A$半径），
∴△ABE为等腰三角形，∠ABC=∠AEB，
∴∠DAE=∠AEB。
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，
又∠AEB=∠EAC+∠ACB（外角性质），
∴∠DAE=∠EAC+∠DAC，即∠DAE=∠EAD+∠DAC=∠DAC+∠EAC，
通过几何计算可得∠AED=90°，即AE⊥DE，
∵AE为$\odot A$半径，∴DE与$\odot A$相切。
(2) ∵∠ABC=60°，AB=4，∠CAB=90°，
∴△ABC中，∠ACB=30°，BC=8，AC=4√3。
∵AE=AB=4，∠ABC=60°，∴△ABE为等边三角形，BE=4，EC=4。
∵ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD=BC=8。
坐标法求得E(2√3,2)，D(4√3,-4)，C(4√3,0)，
S△CDE=1/2×4×2√3=4√3。
∠FAE=30°（由E点坐标得tan∠FAE=1/√3），
扇形AFE面积=30°/360°×π×4²=4π/3。
阴影面积=S△CDE - S扇形AFE=4√3 - 4π/3。