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6. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，点 C，E 在圆周上. 若∠COB = 100°，则∠AEC 的度数为（
A.30°
B.20°
C.40°
D.50°
C
）A.30°
B.20°
C.40°
D.50°
答案
C
解析
∵∠COB=100°，OA=OC，∴∠AOC=180°-∠COB=80°，∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)/2=50°。∵AB为直径，∴∠ACB=90°，则∠B=90°-∠OAC=40°。∵∠AEC与∠B所对弧均为弧AC，∴∠AEC=∠B=40°。
7. 如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，点 P 是劣弧 BC 上一点（点 P 不与点 C 重合），则∠CPD 等于（
A.45°
B.36°
C.35°
D.30°
B
）A.45°
B.36°
C.35°
D.30°
答案
B
解析
连接OC、OD。正五边形ABCDE内接于⊙O，所以∠COD=360°÷5=72°。点P在劣弧BC上，∠CPD是弧CD所对的圆周角，故∠CPD=1/2∠COD=36°。
8. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上一点，连接 AC 和 BC，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，且 CD = 4，BD = 3，则⊙O 的周长是（
A.$\frac{25}{3}\pi$
B.$\frac{50}{3}\pi$
C.$\frac{625}{9}\pi$
D.$\frac{625}{36}\pi$
A
）A.$\frac{25}{3}\pi$
B.$\frac{50}{3}\pi$
C.$\frac{625}{9}\pi$
D.$\frac{625}{36}\pi$
答案
A
解析
连接OC，设⊙O的半径为r。
∵AB是直径，CD⊥AB，∴∠ACB=90°，△BCD为直角三角形。
在Rt△BCD中，CD=4，BD=3，由勾股定理得BC²=CD²+BD²=4²+3²=25，∴BC=5。
由射影定理（或△BCD∽△BAC）得CD²=AD·BD，即4²=AD·3，解得AD=16/3。
∴AB=AD+BD=16/3+3=25/3，即直径为25/3。
⊙O的周长=π·直径=25/3π。
∵AB是直径，CD⊥AB，∴∠ACB=90°，△BCD为直角三角形。
在Rt△BCD中，CD=4，BD=3，由勾股定理得BC²=CD²+BD²=4²+3²=25，∴BC=5。
由射影定理（或△BCD∽△BAC）得CD²=AD·BD，即4²=AD·3，解得AD=16/3。
∴AB=AD+BD=16/3+3=25/3，即直径为25/3。
⊙O的周长=π·直径=25/3π。
9. 已知 AC⊥BC 于点 C，BC = a，CA = b，AB = c，下列选项中⊙O 的半径为$\frac{b + c - a}{2}$的是（
D
）答案
D
解析
选项A：设圆O半径为r，根据直角三角形内切圆半径公式$r = \frac{b + a - c}{2}$，不符合$r=\frac{b + c - a}{2}$。
选项B：设圆O半径为$r$，由$\bigtriangleup ABC$面积$S=\frac{1}{2}bc$，又$S = S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}r\cdot r$（此方法复杂且不符合本题），从图形关系看，设$\angle OBC=\alpha$，$\angle OCB = \beta$，$\tan\alpha=\frac{r}{m}$（$m$为$O$到$BC$垂足相关线段），通过几何关系推导复杂且结果不是$\frac{b + c - a}{2}$。
选项C：设圆O半径为$r$，$\bigtriangleup ABC$面积$S=\frac{1}{2}bc$，$S=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br$，即$\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}r(a + b + c)$，$r=\frac{bc}{a + b + c}$，不符合。
选项D：设圆O半径为$r$，作$OD\perp AC$于$D$，$OE\perp BC$于$E$，$OF\perp AB$于$F$，因为$AC\perp BC$，四边形$OECF$是正方形。
由切线长定理：$AF = AD=x$，$BD=BE = y$，$CE=CD = r$，则$\begin{cases}x + y=c\\x + r=b\\y + r=a\end{cases}$，三式相加得$x + y+2r=a + b + c$，把$x + y=c$代入得$c+2r=a + b + c$，$2r=a + b + c - c$，$2r=b + c - a$，$r=\frac{b + c - a}{2}$。
选项B：设圆O半径为$r$，由$\bigtriangleup ABC$面积$S=\frac{1}{2}bc$，又$S = S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}r\cdot r$（此方法复杂且不符合本题），从图形关系看，设$\angle OBC=\alpha$，$\angle OCB = \beta$，$\tan\alpha=\frac{r}{m}$（$m$为$O$到$BC$垂足相关线段），通过几何关系推导复杂且结果不是$\frac{b + c - a}{2}$。
选项C：设圆O半径为$r$，$\bigtriangleup ABC$面积$S=\frac{1}{2}bc$，$S=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br$，即$\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}r(a + b + c)$，$r=\frac{bc}{a + b + c}$，不符合。
选项D：设圆O半径为$r$，作$OD\perp AC$于$D$，$OE\perp BC$于$E$，$OF\perp AB$于$F$，因为$AC\perp BC$，四边形$OECF$是正方形。
由切线长定理：$AF = AD=x$，$BD=BE = y$，$CE=CD = r$，则$\begin{cases}x + y=c\\x + r=b\\y + r=a\end{cases}$，三式相加得$x + y+2r=a + b + c$，把$x + y=c$代入得$c+2r=a + b + c$，$2r=a + b + c - c$，$2r=b + c - a$，$r=\frac{b + c - a}{2}$。
10. 如图，放置在直线 l 上的扇形 OAB，由①滚动（无滑动）到②，再由②滚动到③. 若半径 OA = 2，∠AOB = 45°，则点 O 所经过的最短运动路径的长是（
A.$2\pi + 2$
B.$3\pi$
C.$\frac{5\pi}{2}$
D.$\frac{5\pi}{2} + 2$
C
）A.$2\pi + 2$
B.$3\pi$
C.$\frac{5\pi}{2}$
D.$\frac{5\pi}{2} + 2$
答案
C
解析
从①到②，扇形无滑动滚动，圆心O绕接触点旋转45°，路径为半径2、圆心角45°的圆弧，弧长为$\frac{45\pi×2}{180}=\frac{\pi}{2}$。从②到③，扇形继续无滑动滚动，圆心O绕新接触点旋转180°，路径为半径2、圆心角180°的圆弧，弧长为$\frac{180\pi×2}{180}=2\pi$。总路径长为$\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2}$。
