1. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$AE\perp BD于点E$,$CF\perp BD于点F$,连接$AF$,$CE$,则下列结论：①$CF= AE$；②$OE= OF$；③$DE= BF$；④图中共有四对全等三角形.其中正确的个数是()

A.4
B.3
C.2
D.1

B

在$□ABCD$中，$OA=OC$，$OB=OD$，$AD// BC$，$AD=BC$。
1. ①$CF=AE$：$\because AE\perp BD$，$CF\perp BD$，$\therefore \angle AEO=\angle CFO=90°$。又$\angle AOE=\angle COF$（对顶角），$OA=OC$，$\therefore \triangle AOE\cong \triangle COF(AAS)$，$\therefore AE=CF$，①正确。
2. ②$OE=OF$：由$\triangle AOE\cong \triangle COF$，得$OE=OF$，②正确。
3. ③$DE=BF$：$\because OB=OD$，$OE=OF$，$\therefore OB-OE=OD-OF$，即$DE=BF$，③正确。
4. ④四对全等三角形：图中全等三角形有$\triangle AOE\cong \triangle COF$，$\triangle AOD\cong \triangle COB$，$\triangle AOB\cong \triangle COD$，$\triangle ABC\cong \triangle CDA$，$\triangle ABD\cong \triangle CDB$，$\triangle ADE\cong \triangle CBF$等，超过四对，④错误。
综上，①②③正确，共3个。

2. 如图,在$\triangle BCF$中,已知$FB= FC$,点$A为BF$上一点,$AD// BC$,交$FC于点E$,$CD// BF$,$AD$,$CD交于点D$.若$AE= 2DE$,则下列说法错误的是()

A.$CE= CD$
B.$BC= 3DE$
C.$AE= 2CD$
D.$S_{四边形ABCD}= 6S_{\triangle CED}$

C

由于$FB = FC$，
所以$\triangle BCF$为等腰三角形，$\angle B = \angle FCB$。
由于$AD // BC$，
根据平行线的性质，有$\angle AEB = \angle FCB = \angle B$，
所以$AE = AB$。
又因为$CD // BF$，
所以四边形$ABCD$为平行四边形，
由此可得$AB = CD$，$AD = BC$，$\angle F = \angle EDC$。
由于$AE = 2DE$，
设$DE = x$，则$AE = 2x$，$AB = AE = CD = 2x$，$AD = BC = 3x$。
在$\triangle AEB$和$\triangle CED$中，
由于$\angle AEB = \angle EDC$，$\angle EAB = \angle DCE$，$AB = CD$，
所以$\triangle AEB \cong \triangle CED(AAS)$（或$AA$相似后对应边成比例且含相同角平角相等得全等），
从而$CE = AB = 2x = CD$（全等三角形对应边相等），
验证选项：
A：$CE = CD$，与上述推导一致，正确。
B：$BC = 3x$，$DE = x$，所以$BC = 3DE$，正确。
C：$AE = 2x$，$CD = 2x$，所以$AE = CD$，与选项$AE = 2CD$不符，错误。
D：由于$\triangle AEB \cong \triangle CED$，且$AD = 3DE$，所以$S_{四边形ABCD} = 2 × S_{\triangle ADE} + 2 × S_{\triangle CED} = 2 × (S_{\triangle ADE} + S_{\triangle CED}) = 2 × S_{\triangle AEC} = 6S_{\triangle CED}$（因为$AE = 2DE$，所以$\triangle ADE$与$\triangle CED$等高，面积比为$2:1$，且$\triangle AEC$与$\triangle CED$同高，面积比为$3:1$），正确。

3. 用一批相同的正多边形地砖铺地面,要求顶点聚在一起,且砖与砖之间不留空隙,则不能用()
A.正六边形
B.正十边形
C.正方形
D.正三角形

B

能铺满地面所使用的正多边形，其内角应能整除360°，即满足360°除以该正多边形一个内角的度数为整数。
正三角形内角为60°，$360^{\circ}÷60^{\circ}=6$，可以铺满；
正方形内角为90°，$360^{\circ}÷90^{\circ}=4$，可以铺满；
正六边形内角为120°，$360^{\circ}÷120^{\circ}=3$，可以铺满；
正十边形内角为$144^{\circ}$，$360^{\circ}÷144^{\circ}=2.5$，不是整数，不能铺满。

4. 一个四边形没有公共顶点的两个外角之和为$p$,与这两个外角都不相邻的两个内角的和为$q$,则()
A.$p= q$
B.$p+q= 90^{\circ}$
C.$p+q= 180^{\circ}$
D.$p+q= 360^{\circ}$

A

设四边形中没有公共顶点的两个外角为外角1和外角2，其相邻内角分别为∠1和∠2，与这两个外角都不相邻的两个内角为∠3和∠4。
∵外角与相邻内角互补，∴外角1=180°-∠1，外角2=180°-∠2。
∴p=外角1+外角2=(180°-∠1)+(180°-∠2)=360°-(∠1+∠2)。
∵四边形内角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°，则∠3+∠4=360°-(∠1+∠2)。
∵q=∠3+∠4，∴p=q。