登录
1. (2023, 湖北武汉) 抛掷两枚质地均匀的骰子,下列事件中是随机事件的是(
A.点数的和为1
B.点数的和为6
C.点数的和大于12
D.点数的和小于13
B
).A.点数的和为1
B.点数的和为6
C.点数的和大于12
D.点数的和小于13
答案
【解析】：
本题考察的是对随机事件的理解以及骰子投掷的可能结果。
随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
A选项：两枚骰子的最小点数都是1，所以点数的和最小为2，因此点数的和为1是不可能事件，不符合题意。
B选项：两枚骰子的点数有多种组合可以得到和为6（如1+5，2+4，3+3，4+2，5+1），所以点数的和为6是随机事件，符合题意。
C选项：两枚骰子的最大点数都是6，所以点数的和最大为12，因此点数的和大于12是不可能事件，不符合题意。
D选项：由于两枚骰子的点数最小为1，最大为6，所以点数的和始终小于或等于12，因此点数的和小于13是必然事件，不符合题意。
【答案】：
B
本题考察的是对随机事件的理解以及骰子投掷的可能结果。
随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
A选项：两枚骰子的最小点数都是1，所以点数的和最小为2，因此点数的和为1是不可能事件，不符合题意。
B选项：两枚骰子的点数有多种组合可以得到和为6（如1+5，2+4，3+3，4+2，5+1），所以点数的和为6是随机事件，符合题意。
C选项：两枚骰子的最大点数都是6，所以点数的和最大为12，因此点数的和大于12是不可能事件，不符合题意。
D选项：由于两枚骰子的点数最小为1，最大为6，所以点数的和始终小于或等于12，因此点数的和小于13是必然事件，不符合题意。
【答案】：
B
2. (2022, 北京) 在一个不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别. 从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A
).A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
解：列表如下：
|第一次|第二次|
| ---- | ---- |
|红|红|
|红|绿|
|绿|红|
|绿|绿|
共有4种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果有1种，所以概率为$\frac{1}{4}$。
答案：A
|第一次|第二次|
| ---- | ---- |
|红|红|
|红|绿|
|绿|红|
|绿|绿|
共有4种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果有1种，所以概率为$\frac{1}{4}$。
答案：A
3. (2023, 湖北武汉) 某校即将举行田径运动会,“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米跑”“400米跑”四个项目中,随机选择两项,则他选择“100米跑”与“400米跑”两个项目的概率是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{12}$
C
).A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{12}$
答案
解：将“跳高”“跳远”“100米跑”“400米跑”分别记为A、B、C、D。
从四个项目中随机选择两项，所有可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中，选择“100米跑”与“400米跑”（即CD）的结果有1种。
所以，所求概率为$\frac{1}{6}$。
答案：C
从四个项目中随机选择两项，所有可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中，选择“100米跑”与“400米跑”（即CD）的结果有1种。
所以，所求概率为$\frac{1}{6}$。
答案：C
4. (2023, 山东) 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球,每个球除颜色外其他都相同. 晓君同学从袋中任意摸出1个球(不放回)后,晓静同学再从袋中任意摸出1个球. 两人都摸到红球的概率是(
A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{2}{25}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{2}{5}$
A
).A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{2}{25}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{2}{5}$
答案
【解析】：
本题考察的是概率的计算，特别是在没有放回的情况下连续摸球的概率。
首先，确定总球数和红球数。袋子中共有5个球，其中2个是红球。
计算第一个人摸到红球的概率。第一个人摸到红球的概率是红球数除以总球数，即 $\frac{2}{5}$。
如果第一个人摸到了红球，那么袋子里就剩下1个红球和3个黄球，共4个球。
此时，第二个人摸到红球的概率是剩下的红球数除以剩下的总球数，即 $\frac{1}{4}$。
由于这两个事件是连续的，且第二个事件依赖于第一个事件，所以两人都摸到红球的概率是这两个概率的乘积，即：
$P(两人都摸到红球) = \frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$。
【答案】：
A. $\frac{1}{10}$。
本题考察的是概率的计算，特别是在没有放回的情况下连续摸球的概率。
首先，确定总球数和红球数。袋子中共有5个球，其中2个是红球。
计算第一个人摸到红球的概率。第一个人摸到红球的概率是红球数除以总球数，即 $\frac{2}{5}$。
如果第一个人摸到了红球，那么袋子里就剩下1个红球和3个黄球，共4个球。
此时，第二个人摸到红球的概率是剩下的红球数除以剩下的总球数，即 $\frac{1}{4}$。
由于这两个事件是连续的，且第二个事件依赖于第一个事件，所以两人都摸到红球的概率是这两个概率的乘积，即：
$P(两人都摸到红球) = \frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$。
【答案】：
A. $\frac{1}{10}$。
5. (2023, 内蒙古) 从1,2,3三个数中随机抽取两个不同的数,分别记作$m和n$. 若点$A的坐标记作(m, n)$,则点$A在双曲线y = \frac{6}{x}$上的概率是(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{6}$
A
).A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
【解析】：
本题考察的是概率计算以及双曲线方程的应用。
首先，从$1,2,3$三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作$m$和$n$，那么点$A$的坐标有$(1,2)$，$(1,3)$，$(2,1)$，$(2,3)$，$(3,1)$，$(3,2)$六种可能。
然后，我们需要判断哪些点满足在双曲线$y = \frac{6}{x}$上。
将各点坐标代入双曲线方程，满足条件的点有$(2,3)$和$(3,2)$。
因此，满足条件的点有2个，总的可能点有6个，所以点$A$在双曲线$y = \frac{6}{x}$上的概率是$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
【答案】：
A. $\frac{1}{3}$。
本题考察的是概率计算以及双曲线方程的应用。
首先，从$1,2,3$三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作$m$和$n$，那么点$A$的坐标有$(1,2)$，$(1,3)$，$(2,1)$，$(2,3)$，$(3,1)$，$(3,2)$六种可能。
然后，我们需要判断哪些点满足在双曲线$y = \frac{6}{x}$上。
将各点坐标代入双曲线方程，满足条件的点有$(2,3)$和$(3,2)$。
因此，满足条件的点有2个，总的可能点有6个，所以点$A$在双曲线$y = \frac{6}{x}$上的概率是$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
【答案】：
A. $\frac{1}{3}$。
6. (2023, 辽宁) 如图,等边三角形$ABC$由9个大小相等的等边三角形构成,随机往$\triangle ABC$内投一粒米,落在阴影区域的概率为
$\frac{2}{3}$
.答案
解：设每个小等边三角形的面积为1，则△ABC的面积为9。
由图可知，阴影区域由6个小等边三角形组成，其面积为6。
所以，随机往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$
由图可知，阴影区域由6个小等边三角形组成，其面积为6。
所以，随机往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$
7. (2023, 湖南) 一个布袋中放着3个红球和9个黑球,这两种球除了颜色以外没有任何其他区别. 布袋中的球已经搅匀. 从布袋中任取1个球,取出红球的概率是
$\frac{1}{4}$
.答案
【解析】：
本题主要考查概率的基本计算。
根据概率的定义，某一事件发生的概率等于该事件发生的次数与所有可能事件次数之比。
在这个问题中，取出红球是所关心的事件，而布袋中红球的数量是3，总球数是$3+9=12$。
因此，取出红球的概率 $P$ 可以计算为：
$P(取出红球) = \frac{红球的数量}{总球数} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$。
【答案】：
$\frac{1}{4}$。
本题主要考查概率的基本计算。
根据概率的定义，某一事件发生的概率等于该事件发生的次数与所有可能事件次数之比。
在这个问题中，取出红球是所关心的事件，而布袋中红球的数量是3，总球数是$3+9=12$。
因此，取出红球的概率 $P$ 可以计算为：
$P(取出红球) = \frac{红球的数量}{总球数} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$。
【答案】：
$\frac{1}{4}$。
8. (2023, 山西) 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它们是儒家思想的核心著作,是中国传统文化的重要组成部分. 若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是______
1/6
.答案
解：设《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A、B、C、D。
第一次抽取有4种可能，第二次抽取有3种可能，总情况数为4×3=12种。
抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的情况有：(A,C)、(C,A)，共2种。
所以概率P=2/12=1/6。
答案：1/6
第一次抽取有4种可能，第二次抽取有3种可能，总情况数为4×3=12种。
抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的情况有：(A,C)、(C,A)，共2种。
所以概率P=2/12=1/6。
答案：1/6
9. (2023, 黑龙江牡丹江) 甲、乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏,随机出手一次,甲获胜的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
【解析】：
本题考察的是概率的计算。在"石头、剪子、布"的游戏中，每次出手有3种可能的结果：石头、剪子、布。因此，甲和乙两人同时出手的总可能情况为$3 × 3 = 9$种。
考虑甲获胜的情况，我们可以列举如下：
1. 甲出石头，乙出剪子；
2. 甲出剪子，乙出布；
3. 甲出布，乙出石头。
这三种情况是甲获胜的所有可能情况，共3种。
所以，甲获胜的概率为这3种情况除以总的可能情况，即$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
【答案】：
$\frac{1}{3}$
本题考察的是概率的计算。在"石头、剪子、布"的游戏中，每次出手有3种可能的结果：石头、剪子、布。因此，甲和乙两人同时出手的总可能情况为$3 × 3 = 9$种。
考虑甲获胜的情况，我们可以列举如下：
1. 甲出石头，乙出剪子；
2. 甲出剪子，乙出布；
3. 甲出布，乙出石头。
这三种情况是甲获胜的所有可能情况，共3种。
所以，甲获胜的概率为这3种情况除以总的可能情况，即$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
【答案】：
$\frac{1}{3}$
10. (2023, 山东聊城) 在一个不透明的袋子中,装有五个分别标有数字$-\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$,0,2,$\pi$的小球,这些小球除数字外其他完全相同. 从袋子中随机摸出两个小球,两个小球上的数字之积恰好是有理数的概率为______
$\frac{2}{5}$
.答案
解：从五个小球中随机摸出两个，所有可能的结果有：
$(-\sqrt{3},\sqrt{6})$，$(-\sqrt{3},0)$，$(-\sqrt{3},2)$，$(-\sqrt{3},\pi)$，
$(\sqrt{6},0)$，$(\sqrt{6},2)$，$(\sqrt{6},\pi)$，
$(0,2)$，$(0,\pi)$，
$(2,\pi)$，共10种。
计算各结果的数字之积：
$(-\sqrt{3})×\sqrt{6}=-\sqrt{18}=-3\sqrt{2}$（无理数），
$(-\sqrt{3})×0=0$（有理数），
$(-\sqrt{3})×2=-2\sqrt{3}$（无理数），
$(-\sqrt{3})×\pi=-\sqrt{3}\pi$（无理数），
$\sqrt{6}×0=0$（有理数），
$\sqrt{6}×2=2\sqrt{6}$（无理数），
$\sqrt{6}×\pi=\sqrt{6}\pi$（无理数），
$0×2=0$（有理数），
$0×\pi=0$（有理数），
$2×\pi=2\pi$（无理数）。
其中积为有理数的结果有4种，故概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
$\frac{2}{5}$
$(-\sqrt{3},\sqrt{6})$，$(-\sqrt{3},0)$，$(-\sqrt{3},2)$，$(-\sqrt{3},\pi)$，
$(\sqrt{6},0)$，$(\sqrt{6},2)$，$(\sqrt{6},\pi)$，
$(0,2)$，$(0,\pi)$，
$(2,\pi)$，共10种。
计算各结果的数字之积：
$(-\sqrt{3})×\sqrt{6}=-\sqrt{18}=-3\sqrt{2}$（无理数），
$(-\sqrt{3})×0=0$（有理数），
$(-\sqrt{3})×2=-2\sqrt{3}$（无理数），
$(-\sqrt{3})×\pi=-\sqrt{3}\pi$（无理数），
$\sqrt{6}×0=0$（有理数），
$\sqrt{6}×2=2\sqrt{6}$（无理数），
$\sqrt{6}×\pi=\sqrt{6}\pi$（无理数），
$0×2=0$（有理数），
$0×\pi=0$（有理数），
$2×\pi=2\pi$（无理数）。
其中积为有理数的结果有4种，故概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
$\frac{2}{5}$
