5. 如图③,已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高,其中AD= 9 cm,BD= 4 cm,那么CD等于cm.

6

1. 由于$\triangle ABC$是直角三角形，且$CD$是斜边$AB$上的高，因此$\angle ACB = 90°$，$\angle CDB = 90°$。
2. 因为$\angle ACB = \angle CDB$，所以$\angle ACD + \angle BCD = 90°$，而$\angle B + \angle BCD = 90°$，所以$\angle ACD = \angle B$。
3. 由相似三角形的判定定理，$\triangle ACD \sim \triangle CBD$。
4. 根据相似三角形的性质，$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$。
5. 代入已知条件$AD = 9 cm$，$BD = 4 cm$，得到$\frac{9}{CD} = \frac{CD}{4}$。
6. 交叉相乘，得到$CD^2 = 36$，解得$CD = 6 cm$。

6. 如图④,在△ABC中,若∠AED= ∠B,DE= 6,AB= 10,AE= 8,则BC的长是.

7.5

1. 根据题意，已知∠AED = ∠B，且△ADE和△ABC有两个对应角相等，因此△ADE ∽ △ABC（AA相似）。
2. 根据相似三角形的性质，有对应边成比例关系：
$ \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB} $
3. 将已知数据代入比例式：
$ \frac{6}{BC} = \frac{8}{10} $
4. 解比例式，交叉相乘得：
$ 6 × 10 = 8 × BC \implies 60 = 8 × BC \implies BC = \frac{60}{8} = 7.5 $

7. 如图,点D在△ABC的边BC上,∠ADC+∠BAC= 180°.

(1)求证:△BAD∽△BCA;
(2)若AB= 4,BC= 8,求BD的长.

(1)证明过程如上述；(2)2

(1)证明：
因为$\angle ADC+\angle BAC=180^\circ$，$\angle ADC+\angle ADB=180^\circ$，所以$\angle BAC=\angle ADB$。
又因为$\angle B=\angle B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle BAD\sim\triangle BCA$。
(2)由(1)知$\triangle BAD\sim\triangle BCA$，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
已知$AB = 4$，$BC = 8$，代入可得$\frac{4}{8}=\frac{BD}{4}$，解得$BD = 2$。

8. 如图,已知△ABC中,D为BC中点,AD= AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F,

(1)△ABC与△FCD相似吗? 请说明理由;
(2)若$S_{\triangle FDC}= 5$,BD= 5,求DE的长.

(1)相似；(2)8/3。

(1)相似。理由如下：
∵D为BC中点，DE⊥BC，∴DE垂直平分BC，∴EB=EC，∴∠B=∠ECB=∠FCD。
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD=∠ACB，即∠FDC=∠ACB。
在△ABC和△FCD中，∠B=∠FCD，∠ACB=∠FDC，∴△ABC∽△FCD。
(2)∵BD=5，D为BC中点，∴DC=BD=5，BC=2BD=10。
由(1)知△ABC∽△FCD，相似比为BC/CD=10/5=2，∴S△ABC=4S△FDC=4×5=20。
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，又△ABC∽△FCD，∴AC/FD=2，即AC=2FD，∵AD=AC，∴AD=2FD，∴F为AD中点。
∵F为AD中点，∴S△ADC=2S△FDC=10（△AFC与△FDC等底同高）。
∴S△ABD=S△ABC - S△ADC=20 - 10=10。
设A到BC的高为h，则S△ABD=1/2×BD×h=10，即1/2×5×h=10，解得h=4。
以B为原点，BC为x轴建立坐标系，B(0,0)，C(10,0)，D(5,0)，A(7.5,4)（由AD=AC及h=4求得）。
AB所在直线方程为y=(8/15)x，E为DE与AB交点，DE⊥BC，∴E横坐标为5，代入AB方程得y=8/3，即DE=8/3。