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3. 如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB = AC = 13$,$BC = 10$,$AD\perp BC于点D$,$AD = 12$,动点$E$,$F分别在线段AD$,$AB$上运动,则$BE + EF$的最小值为
120/13
。答案
120/13
解析
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，故AD上的点E到B、C距离相等，即BE=CE。则BE+EF=CE+EF。要使CE+EF最小，当E在CF上（F在AB上）时，CE+EF=CF，此时CF最小为点C到AB的距离（垂线段最短）。
由S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×10×12=60，又S△ABC=1/2×AB×CF，AB=13，得1/2×13×CF=60，解得CF=120/13。
由S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×10×12=60，又S△ABC=1/2×AB×CF，AB=13，得1/2×13×CF=60，解得CF=120/13。
4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB = 80^{\circ}$,$AB = 2$,$AC = 3$,$E是边AB$的中点,$\angle CAB的平分线交BC于点D$。在直线$AD上有一点P$,连接$PC$,$PE$,则$\vert PC - PE\vert$的最大值是
2
。答案
2
解析
作点E关于AD的对称点E'，由AD是∠CAB的平分线，得E'在AC上，且AE'=AE=1。由对称性质知PE=PE'，则|PC - PE|=|PC - PE'|。根据三角形三边关系，|PC - PE'|≤CE'，当P、C、E'共线时取等号。AC=3，AE'=1，故CE'=AC - AE'=2，即|PC - PE|的最大值为2。
5. 如图,$\angle AOB = 20^{\circ}$,$M$,$N分别是边OA$,$OB$上的定点,$P$,$Q分别是边OB$,$OA$上的动点,记$\angle OPM = \alpha$,$\angle OQN = \beta$,当$MP + PQ + QN$最小时,则$\alpha$,$\beta$的数量关系正确的是(
A.$\beta - \alpha = 30^{\circ}$
B.$\beta + \alpha = 210^{\circ}$
C.$\beta - 2\alpha = 30^{\circ}$
D.$\beta + \alpha = 200^{\circ}$
D
)A.$\beta - \alpha = 30^{\circ}$
B.$\beta + \alpha = 210^{\circ}$
C.$\beta - 2\alpha = 30^{\circ}$
D.$\beta + \alpha = 200^{\circ}$
答案
D
解析
作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于P，交OA于Q，此时MP+PQ+QN最小。由对称性质得∠OPM=∠OPM'=α，∠OQN=∠OQN'=β。在△OPQ中，∠POQ=20°，∠OPQ=180°-α，∠OQP=180°-β。根据三角形内角和定理：20°+(180°-α)+(180°-β)=180°，解得α+β=200°。
6. 如图,在五边形$ABCDE$中,$AB\perp BC$,$AE\perp ED$,$BC ＞ AB$,$DE ＞ AE$,在$BC$,$DE上分别找一点M$,$N$,使得$\triangle AMN$的周长最小,此时$\angle MAN = 58^{\circ}$,则$\angle BAE$的度数为
119°
。答案
119°
解析
作点A关于BC的对称点A'，关于DE的对称点A''，连接A'A''交BC于M，交DE于N，此时△AMN周长最小。由轴对称性质得：A'在AB延长线上，AB=BA'，∠BAM=∠BA'M=α；A''在AE延长线上，AE=EA''，∠EAN=∠EA''N=β。
∵A'、M、N、A''共线，在△A'A''A中，∠AA'A''+∠AA''A'+∠A'AA''=180°，即α+β+∠BAE=180°。
又∠MAN=∠BAE - α - β=58°，设∠BAE=θ，则θ - α - β=58°，即α+β=θ - 58°。
代入α+β+θ=180°得：θ - 58° + θ=180°，解得θ=119°。
∵A'、M、N、A''共线，在△A'A''A中，∠AA'A''+∠AA''A'+∠A'AA''=180°，即α+β+∠BAE=180°。
又∠MAN=∠BAE - α - β=58°，设∠BAE=θ，则θ - α - β=58°，即α+β=θ - 58°。
代入α+β+θ=180°得：θ - 58° + θ=180°，解得θ=119°。
例1 (2024·广西)端午节是中国传统节日,下列与端午节有关的文创图案中,成轴对称的是(
B
)答案
B
解析
根据轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。依次分析各选项：A选项图形沿某条直线折叠后，左右部分不能完全重合；B选项图形沿中间竖直直线折叠，左右部分能够完全重合；C选项图形为波浪线，无对称轴；D选项图形沿任何直线折叠，各部分均不能重合。故成轴对称的是B选项。
巩固提升 (2024·甘肃)围棋起源于中国,古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图,轮到白方落子.观察棋盘,白方如果落子于点
D
的位置,则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A,B,C,D中的一处即可,A,B,C,D位于棋盘的格点上)答案
D
解析
要使对弈图为轴对称图形，需找到一条对称轴，使棋子关于该轴对称。观察现有棋子，四个黑子（●）组成2×2正方形，关于第4列和第5列中间的竖直线（竖直对称轴）对称。现有白子（○）中，(3,2)（第3列第2行）关于该对称轴的对称点为(6,2)（第6列第2行），即点D。落子于D后，白子(3,2)与(6,2)对称，黑子已对称，整体图形关于该竖直对称轴对称。
例2 已知点A(a,-4)与点B(3,b)关于x轴对称,那么a + b的值为(
A.-7
B.-1
C.1
D.7
D
)A.-7
B.-1
C.1
D.7
答案
D
解析
由于点 $A(a, -4)$ 和点 $B(3, b)$ 关于 $x$ 轴对称，根据对称性质，两点的横坐标相同，即 $a = 3$。
同时，两点的纵坐标互为相反数，即 $-4 = -b$，从而得出 $b = 4$。
因此，$a + b = 3 + 4 = 7$。
同时，两点的纵坐标互为相反数，即 $-4 = -b$，从而得出 $b = 4$。
因此，$a + b = 3 + 4 = 7$。
巩固提升 如图,在边长为1的正方形网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A,B
的坐标分别是A(3,2),B(1,3),与△AOB关于y轴对称的图形为$△A_1OB_1.$在图中画出$△A_1OB_1,$点$B_1$的坐标为
的坐标分别是A(3,2),B(1,3),与△AOB关于y轴对称的图形为$△A_1OB_1.$在图中画出$△A_1OB_1,$点$B_1$的坐标为
(-1,3)
.答案
(-1,3)
解析
关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变。已知B(1,3)，则B₁的坐标为(-1,3)。在网格中找到A(3,2)关于y轴的对称点A₁(-3,2)，O点坐标不变为(0,0)，连接A₁、O、B₁即可画出△A₁OB₁。
