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7. 观察下列运算过程：
$S = 1 + 3 + 3^{2} + … + 3^{2024} + 3^{2025}$,①
①$× 3$ 得
$3S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + … + 3^{2025} + 3^{2026}$,②
②$-$①得 $2S = 3^{2026} - 1$,$S = \dfrac{3^{2026} - 1}{2}$。
用上面的方法计算：$1 + 5 + 5^{2} + … + 5^{100} + 5^{101}$。
$S = 1 + 3 + 3^{2} + … + 3^{2024} + 3^{2025}$,①
①$× 3$ 得
$3S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + … + 3^{2025} + 3^{2026}$,②
②$-$①得 $2S = 3^{2026} - 1$,$S = \dfrac{3^{2026} - 1}{2}$。
用上面的方法计算：$1 + 5 + 5^{2} + … + 5^{100} + 5^{101}$。
答案
设 $S = 1 + 5 + 5^{2} + \ldots + 5^{100} + 5^{101}$，①
将①式两边同时乘以5，得到：
$5S = 5 + 5^{2} + 5^{3} + \ldots + 5^{101} + 5^{102}$，②
对②式减去①式，得到：
$5S - S = (5 + 5^{2} + 5^{3} + \ldots + 5^{101} + 5^{102}) - (1 + 5 + 5^{2} + \ldots + 5^{100} + 5^{101})$
$4S = 5^{102} - 1$
将上述等式两边同时除以4，得到：
$S = \frac{5^{102} - 1}{4}$
所以，$1 + 5 + 5^{2} + \ldots + 5^{100} + 5^{101} = \frac{5^{102} - 1}{4}$。
将①式两边同时乘以5，得到：
$5S = 5 + 5^{2} + 5^{3} + \ldots + 5^{101} + 5^{102}$，②
对②式减去①式，得到：
$5S - S = (5 + 5^{2} + 5^{3} + \ldots + 5^{101} + 5^{102}) - (1 + 5 + 5^{2} + \ldots + 5^{100} + 5^{101})$
$4S = 5^{102} - 1$
将上述等式两边同时除以4，得到：
$S = \frac{5^{102} - 1}{4}$
所以，$1 + 5 + 5^{2} + \ldots + 5^{100} + 5^{101} = \frac{5^{102} - 1}{4}$。
解析
设$S = 1 + 5 + 5^{2} + \ldots + 5^{100} + 5^{101}$，①
①$× 5$得
$5S = 5 + 5^{2} + 5^{3} + \ldots + 5^{101} + 5^{102}$，②
②$-$①得$4S = 5^{102} - 1$，$S = \dfrac{5^{102} - 1}{4}$。
①$× 5$得
$5S = 5 + 5^{2} + 5^{3} + \ldots + 5^{101} + 5^{102}$，②
②$-$①得$4S = 5^{102} - 1$，$S = \dfrac{5^{102} - 1}{4}$。
思考 用科学记数法表示数时,原数的整数位数与 10 的指数有什么关系？
填空 200 000 000 用科学记数法表示为
填空 200 000 000 用科学记数法表示为
$2×10^{8}$
；15 000 000 用科学记数法表示为$1.5×10^{7}$
。答案
$2×10^{8}$；$1.5×10^{7}$
解析
科学记数法的表示形式为 $a × 10^n$，其中 $1 \leq |a| ＜ 10$，$n$ 为整数。$n$ 的值比原数的整数位数少 $1$。$200000000$ 的整数位数是 $9$ 位，则 $n = 9 - 1 = 8$，$a = 2$，所以 $200000000$ 用科学记数法表示为 $2×10^{8}$；$15000000$ 的整数位数是 $8$ 位，则 $n = 8 - 1 = 7$，$a = 1.5$，所以 $15000000$ 用科学记数法表示为 $1.5×10^{7}$。
例 1
用科学记数法表示下列各数：
(1) $ 10 101 000 000 = $
(2) $ -20 100 000 000 = $
(3) $ 2.53 $ 亿 =
名师导引 用科学记数法表示数时,其中 $ a $ 是整数数位只有一位的数,$ n $ 是正整数；10 的指数比原来的整数位数少 1。
用科学记数法表示下列各数：
(1) $ 10 101 000 000 = $
$1.0101×10^{10}$
；(2) $ -20 100 000 000 = $
$-2.01×10^{10}$
；(3) $ 2.53 $ 亿 =
$2.53×10^{8}$
。名师导引 用科学记数法表示数时,其中 $ a $ 是整数数位只有一位的数,$ n $ 是正整数；10 的指数比原来的整数位数少 1。
答案
(1)$1.0101×10^{10}$；(2)$-2.01×10^{10}$；(3)$2.53×10^{8}$
解析
(1) 10101000000 整数位数为11位，a=1.0101，n=10，故表示为$1.0101×10^{10}$；
(2) -20100000000 整数位数为11位，a=-2.01，n=10，故表示为$-2.01×10^{10}$；
(3) 2.53亿=253000000，整数位数为9位，a=2.53，n=8，故表示为$2.53×10^{8}$。
(2) -20100000000 整数位数为11位，a=-2.01，n=10，故表示为$-2.01×10^{10}$；
(3) 2.53亿=253000000，整数位数为9位，a=2.53，n=8，故表示为$2.53×10^{8}$。
变式训练 78 900 000 用科学记数法表示为
$7.89×10^7$
；1 020 000 000 用科学记数法表示为$1.02×10^9$
。答案
$7.89×10^7$；$1.02×10^9$
解析
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|\lt10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$\gt1$时，$n$是正数；当原数绝对值$\lt1$时，$n$是负数。
对于$78900000$，将小数点向左移动$7$位得到$7.89$，所以$78900000=7.89×10^7$；
对于$1020000000$，将小数点向左移动$9$位得到$1.02$，所以$1020000000=1.02×10^9$。
对于$78900000$，将小数点向左移动$7$位得到$7.89$，所以$78900000=7.89×10^7$；
对于$1020000000$，将小数点向左移动$9$位得到$1.02$，所以$1020000000=1.02×10^9$。
例 2
写出下列用科学记数法表示的数的原数：
(1) $ 3.12 × 10^{12} = $
(2) $ 2.34 × 10^{5} = $
(3) $ -2.5 × 10^{7} = $
名师导引 科学记数法 $ a × 10^{n} $ 表示的数,“还原”成通常表示的数,就是把 $ a $ 的小数点向右移动 $ n $ 位所得到的数。
写出下列用科学记数法表示的数的原数：
(1) $ 3.12 × 10^{12} = $
3120000000000
；(2) $ 2.34 × 10^{5} = $
234000
；(3) $ -2.5 × 10^{7} = $
-25000000
。名师导引 科学记数法 $ a × 10^{n} $ 表示的数,“还原”成通常表示的数,就是把 $ a $ 的小数点向右移动 $ n $ 位所得到的数。
答案
(1)$3120000000000$；
(2)$234000$；
(3)$-25000000$。
(2)$234000$；
(3)$-25000000$。
解析
(1) 对于 $3.12 × 10^{12}$，需要将$3.12$的小数点向右移动12位。由于$12$位移动后，数字变为$3120000000000$。
(2) 对于 $2.34 × 10^{5}$，需要将 $2.34$的小数点向右移动5位。移动后，数字变为$234000$。
(3) 对于 $-2.5 × 10^{7}$，负号表示该数为负数，需要将$2.5$的小数点向右移动7位，并加上负号。移动后，数字变为$-25000000$。
(2) 对于 $2.34 × 10^{5}$，需要将 $2.34$的小数点向右移动5位。移动后，数字变为$234000$。
(3) 对于 $-2.5 × 10^{7}$，负号表示该数为负数，需要将$2.5$的小数点向右移动7位，并加上负号。移动后，数字变为$-25000000$。
变式训练 把 $ 7.1 × 10^{4} $ 写成原数为
基础过关
71000
；把 $ -2.8 × 10^{7} $ 写成原数为-28000000
。基础过关
答案
71000；-28000000
解析
$7.1×10^{4}=7.1×10000=71000$；$-2.8×10^{7}=-2.8×10000000=-28000000$
1. 300 000 用科学记数法表示为(
A.$ 0.3 × 10^{5} $
B.$ 3 × 10^{5} $
C.$ 0.3 × 10^{6} $
D.$ 3 × 10^{6} $
B
)A.$ 0.3 × 10^{5} $
B.$ 3 × 10^{5} $
C.$ 0.3 × 10^{6} $
D.$ 3 × 10^{6} $
答案
B
解析
科学记数法的表示形式为 $ a × 10^{n} $，其中 $ 1 \leq |a| ＜ 10 $，$ n $ 为整数。将 300 000 转换为科学记数法时，需将小数点向左移动 5 位得到 $ a = 3 $，因此 $ n = 5 $，表示为 $ 3 × 10^{5} $。
2. 拒绝“餐桌浪费”,刻不容缓. 据统计全国每年浪费食物总量约 55 000 000 000 千克. 这个数据用科学记数法表示为(
A.$ 0.55 × 10^{11} $ 千克
B.$ 55 × 10^{9} $ 千克
C.$ 5.5 × 10^{10} $ 千克
D.$ 5.5 × 10^{11} $ 千克
C
)A.$ 0.55 × 10^{11} $ 千克
B.$ 55 × 10^{9} $ 千克
C.$ 5.5 × 10^{10} $ 千克
D.$ 5.5 × 10^{11} $ 千克
答案
C
解析
科学记数法的表示形式为$a×10^{n}$，其中$1\leq\vert a\vert＜10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$\gt1$时，$n$是正数。
对于$55000000000$，可以将其写成$a×10^{n}$的形式，$a = 5.5$，此时小数点向左移动了$10$位，所以$n = 10$，即$55000000000=5.5×10^{10}$。
对于$55000000000$，可以将其写成$a×10^{n}$的形式，$a = 5.5$，此时小数点向左移动了$10$位，所以$n = 10$，即$55000000000=5.5×10^{10}$。
