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6. 有一个转盘(材质均匀)如图,已知红色、黄色区域的圆心角大小分别为$x^{\circ}和y^{\circ}$.
(1)自由转动转盘一次(当指针刚好落在分界线时,重新转动),“指针落在红色区域”的概率为$\frac{1}{3}$,分别求x和y的值；
(2)在(1)的条件下,若自由转动转盘两次,求“指针一次落在红色区域,另一次落在黄色区域”的概率.
(1)自由转动转盘一次(当指针刚好落在分界线时,重新转动),“指针落在红色区域”的概率为$\frac{1}{3}$,分别求x和y的值；
(2)在(1)的条件下,若自由转动转盘两次,求“指针一次落在红色区域,另一次落在黄色区域”的概率.
答案
(1)$x=120$，$y=240$；(2)$\frac{4}{9}$。
解析
(1)因为转盘材质均匀，整个转盘的圆心角为$360^{\circ}$，“指针落在红色区域”的概率为$\frac{1}{3}$，所以$\frac{x}{360}=\frac{1}{3}$，解得$x = 120$。又因为红色和黄色区域组成整个转盘，所以$y=360 - x=360 - 120=240$。
(2)由
(1)知红色区域圆心角为$120^{\circ}$，则指针落在红色区域的概率为$\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$，落在黄色区域的概率为$\frac{240}{360}=\frac{2}{3}$。自由转动转盘两次，“一次红色一次黄色”包含两种情况：第一次红色第二次黄色，概率为$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$；第一次黄色第二次红色，概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$。所以总概率为$\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$。
7. 在边长为4的正方形平面内,建立如图①所示的平面直角坐标系.学习小组做如下实验：连续转动分布均匀的转盘(如图②)两次,指针所指的数字作为直角坐标系中点P的坐标(第一次得到的数为横坐标,第二次得到的数为纵坐标).
(1)转动转盘共能得到
(2)求点P落在正方形外部的概率.
(1)转动转盘共能得到
36
个不同的点,点P落在正方形边上的概率是$\frac{4}{9}$
；(2)求点P落在正方形外部的概率.
点P落在正方形外部的概率为$\frac{11}{36}$。
答案
1. 首先求转动转盘能得到的不同点的个数：
转盘上有$6$个数字，第一次转动转盘得到一个数作为横坐标（有$6$种情况），第二次转动转盘得到一个数作为纵坐标（有$6$种情况）。
根据分步乘法计数原理，共能得到$n = 6×6=36$个不同的点。
2. 然后求点$P$落在正方形边上的点：
正方形$ABCD$的顶点坐标$A(-2,2)$，$B(-2, - 2)$，$C(2,-2)$，$D(2,2)$，边$AB$上的点$(x,y)$满足$x=-2(-2\lt y\lt2)$，边$BC$上的点$(x,y)$满足$y = - 2(-2\lt x\lt2)$，边$CD$上的点$(x,y)$满足$x = 2(-2\lt y\lt2)$，边$DA$上的点$(x,y)$满足$y = 2(-2\lt x\lt2)$。
点$P$落在正方形边上的情况有$(-2,2)$，$(-2,-2)$，$(2,-2)$，$(2,2)$，$(-2,1)$，$(-2, - 1)$，$(-2,0)$，$(-1,-2)$，$(0,-2)$，$(1,-2)$，$(2,1)$，$(2,0)$，$(2, - 1)$，$(-1,2)$，$(0,2)$，$(1,2)$，共$16$个。
所以点$P$落在正方形边上的概率$P_1=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$。
3. 最后求点$P$落在正方形外部的概率：
点$P$落在正方形内部的点：
正方形内部的点$(x,y)$满足$-2\lt x\lt2$且$-2\lt y\lt2$，内部的点有$(-1,1)$，$(-1,0)$，$(-1, - 1)$，$(0,1)$，$(0,0)$，$(0, - 1)$，$(1,1)$，$(1,0)$，$(1, - 1)$，共$9$个。
设点$P$落在正方形外部为事件$A$，根据对立事件概率公式$P(A)=1 - P( )点$P$落在正方形内部$) - P( )点$P$落在正方形边上$)$。
点$P$落在正方形内部的概率$P_2=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$。
所以点$P$落在正方形外部的概率$P = 1-\frac{9 + 16}{36}$。
先计算$\frac{9 + 16}{36}=\frac{25}{36}$，则$P=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$。
(1) 转动转盘共能得到$36$个不同的点，点$P$落在正方形边上的概率是$\frac{4}{9}$；
(2) 点$P$落在正方形外部的概率为$\frac{11}{36}$。
转盘上有$6$个数字，第一次转动转盘得到一个数作为横坐标（有$6$种情况），第二次转动转盘得到一个数作为纵坐标（有$6$种情况）。
根据分步乘法计数原理，共能得到$n = 6×6=36$个不同的点。
2. 然后求点$P$落在正方形边上的点：
正方形$ABCD$的顶点坐标$A(-2,2)$，$B(-2, - 2)$，$C(2,-2)$，$D(2,2)$，边$AB$上的点$(x,y)$满足$x=-2(-2\lt y\lt2)$，边$BC$上的点$(x,y)$满足$y = - 2(-2\lt x\lt2)$，边$CD$上的点$(x,y)$满足$x = 2(-2\lt y\lt2)$，边$DA$上的点$(x,y)$满足$y = 2(-2\lt x\lt2)$。
点$P$落在正方形边上的情况有$(-2,2)$，$(-2,-2)$，$(2,-2)$，$(2,2)$，$(-2,1)$，$(-2, - 1)$，$(-2,0)$，$(-1,-2)$，$(0,-2)$，$(1,-2)$，$(2,1)$，$(2,0)$，$(2, - 1)$，$(-1,2)$，$(0,2)$，$(1,2)$，共$16$个。
所以点$P$落在正方形边上的概率$P_1=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$。
3. 最后求点$P$落在正方形外部的概率：
点$P$落在正方形内部的点：
正方形内部的点$(x,y)$满足$-2\lt x\lt2$且$-2\lt y\lt2$，内部的点有$(-1,1)$，$(-1,0)$，$(-1, - 1)$，$(0,1)$，$(0,0)$，$(0, - 1)$，$(1,1)$，$(1,0)$，$(1, - 1)$，共$9$个。
设点$P$落在正方形外部为事件$A$，根据对立事件概率公式$P(A)=1 - P( )点$P$落在正方形内部$) - P( )点$P$落在正方形边上$)$。
点$P$落在正方形内部的概率$P_2=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$。
所以点$P$落在正方形外部的概率$P = 1-\frac{9 + 16}{36}$。
先计算$\frac{9 + 16}{36}=\frac{25}{36}$，则$P=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$。
(1) 转动转盘共能得到$36$个不同的点，点$P$落在正方形边上的概率是$\frac{4}{9}$；
(2) 点$P$落在正方形外部的概率为$\frac{11}{36}$。
8. 如图①,在Rt△ABC中,$\angle C= 90^{\circ}$,两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.如图②,现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.
(1)若Rt△ABC的两直角边之比均为2:3,现随机向该图形内掷一枚小针,则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？
(2)若正方形EFMN的边长为8,Rt△ABC的周长为18,求Rt△ABC的面积.
(1)若Rt△ABC的两直角边之比均为2:3,现随机向该图形内掷一枚小针,则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？
(2)若正方形EFMN的边长为8,Rt△ABC的周长为18,求Rt△ABC的面积.
答案
(1)设Rt△ABC的两直角边分别为$a = 2k$，$b = 3k$（$k＞0$），则斜边$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(2k)^2 + (3k)^2} = \sqrt{13}k$。四个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab = 2×2k×3k = 12k^2$。正方形EFMN的边长为斜边$c$，面积为$c^2 = 13k^2$。针尖落在四个直角三角形区域的概率为$\frac{12k^2}{13k^2} = \frac{12}{13}$。
(2)设Rt△ABC的直角边为$a$，$b$，斜边为$c$。正方形EFMN边长为8，则$c = 8$。周长$a + b + c = 18$，得$a + b = 10$。由$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，且$a^2 + b^2 = c^2 = 64$，得$10^2 = 64 + 2ab$，解得$ab = 18$。面积为$\frac{1}{2}ab = 9$。
(1)$\frac{12}{13}$；(2)9
(2)设Rt△ABC的直角边为$a$，$b$，斜边为$c$。正方形EFMN边长为8，则$c = 8$。周长$a + b + c = 18$，得$a + b = 10$。由$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，且$a^2 + b^2 = c^2 = 64$，得$10^2 = 64 + 2ab$，解得$ab = 18$。面积为$\frac{1}{2}ab = 9$。
(1)$\frac{12}{13}$；(2)9
