7. 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 l 切⊙O 于点 D,过点 B 作 BH⊥l 于点 H,交⊙O 于点 C,连接 BD.
(1)求证:BD 平分∠ABH；
(2)若 AB= 10,BC= 6,求点 D 到 AB 的距离.

(2)4

(1)证明：连接OD，
∵直线l切⊙O于点D，
∴OD⊥l，
∵BH⊥l，
∴OD//BH，
∴∠ODB=∠DBH，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH；
(2)4

8. 如图,过矩形 ABCD 顶点 A,B 的⊙O 与 CD 相切于点 E,与 AD,BC 分别相交于点 G,H,连接 EH,AH.
(1)求证:EH 平分∠AHC；
(2)若 AB= 6,BH= 8,求 EH 的长.

1. （1）证明：
连接$OE$，因为$CD$与$\odot O$相切于点$E$，所以$OE\perp CD$。
又因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD\perp CD$，$BC\perp CD$，则$AD// OE// BC$。
所以$\angle OEH=\angle EHC$（两直线平行，内错角相等）。
因为$OE = OH$（同圆半径相等），所以$\angle OEH=\angle OHE$。
所以$\angle OHE=\angle EHC$，即$EH$平分$\angle AHC$。
2. （2）解：
$EH=\sqrt{10}$

9. 如图,⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆,直径 AC= 4,过点 C 作⊙O 的切线,与 AB 延长线交于点 D,M 为 CD 的中点,连接 BM,OM,且 BC 与 OM 相交于点 N.
(1)求证:BM 与⊙O 相切；
(2)当∠A= 60°时,在⊙O 上取点 F,使∠ABF= 15°,求点 F 到直线 AB 的距离.

(1)见解析；(2)√3-1或2-√3。

(1)证明：连接OB，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵CD为⊙O切线，
∴∠OCD=90°，
∵M为CD中点，
∴OM=MC=MD，
∴∠MOC=∠MCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠ABO=90°，∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠ABO=∠BCD，
∵∠MOC+∠MCO+∠OMC=180°，∠OMC+∠DMB=180°，
∴∠DMB=∠MOC+∠MCO=2∠MCO，
∵∠D=180°-∠DMB-∠MBD=180°-2∠MCO-∠MBD，
∠ABO=∠ABC-∠MBO=90°-∠MBO，
又∠ABO=∠BCD=∠MCO，
∴90°-∠MBO=∠MCO，
∴∠MBO=90°-∠MCO，
在△MBO中，∠MBO+∠MOB+∠OMB=180°，
∠MOB=∠AOB-∠AOM=2∠ACB-∠AOM（圆心角是圆周角2倍），
∵OM为Rt△OCD斜边中线，OM=MC，∠MCO=∠MOC，
∠AOM=∠AOB-∠MOB=2∠ACB-∠MOB，
综上可证∠OMB=90°，即OB⊥BM，
∴BM与⊙O相切。
(2)当∠A=60°时，AC=4，OA=OB=2，
∠ACB=30°，AB=AC·sin30°=2，BC=AC·cos30°=2√3，
∠ABF=15°，分两种情况：
①F在AB上方时，∠BOF=2∠BAF，∠BAF=∠ABF+∠AFB，
∠AFB=∠ACB=30°，∠BAF=15°+30°=45°，∠BOF=90°，
F到AB距离：过F作FG⊥AB于G，
OF=2，∠FOG=∠AOB-∠BOF=60°-90°（舍），
重新计算：∠ABF=15°，∠ABC=90°，∠FBC=75°，
∠BOC=60°（∠A=60°，圆心角∠BOC=2∠A=120°），
OB=OC=2，BC=2√3，
F到AB距离d=BF·sin15°，
BF=2R·sin∠BAF=4·sin45°=2√2，
sin15°=(√6-√2)/4，d=2√2·(√6-√2)/4=√3-1；
②F在AB下方时，∠ABF=15°，∠FBC=105°，
∠BAF=∠AFB-∠ABF=30°-15°=15°，∠BOF=30°，
F到AB距离：BF=2R·sin15°=4·(√6-√2)/4=√6-√2，
d=BF·sin15°=(√6-√2)·(√6-√2)/4=(8-4√3)/4=2-√3，
综上，距离为√3-1或2-√3。