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9. 某樱桃园有200棵樱桃树,成熟期一到,摘下其中10棵树的樱桃,分别称得质量(单位：kg)如下：10,13,8,12,11,8,9,12,8,9.
(1)样本的平均数是
(2)估计该果园樱桃的总产量；
(3)规定当方差不超过$3.5kg^{2}$时,每棵樱桃树的产量比较均匀.判断该樱桃园中每棵樱桃树的产量是否均匀.
(1)样本的平均数是
10
kg；(2)估计该果园樱桃的总产量；
2000kg
(3)规定当方差不超过$3.5kg^{2}$时,每棵樱桃树的产量比较均匀.判断该樱桃园中每棵樱桃树的产量是否均匀.
均匀
答案
(1) 样本平均数：$\bar{x} = \frac{10 + 13 + 8 + 12 + 11 + 8 + 9 + 12 + 8 + 9}{10} = \frac{100}{10} = 10$kg。
(2) 总产量估计：$200 × 10 = 2000$kg。
(3) 方差计算：$s^2 = \frac{1}{10}[(10-10)^2 + (13-10)^2 + (8-10)^2 + (12-10)^2 + (11-10)^2 + (8-10)^2 + (9-10)^2 + (12-10)^2 + (8-10)^2 + (9-10)^2]$
$= \frac{1}{10}[0 + 9 + 4 + 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 4 + 1] = \frac{32}{10} = 3.2$kg²。
因为$3.2 ＜ 3.5$，所以产量均匀。
(1)10；(2)2000kg；(3)均匀。
(2) 总产量估计：$200 × 10 = 2000$kg。
(3) 方差计算：$s^2 = \frac{1}{10}[(10-10)^2 + (13-10)^2 + (8-10)^2 + (12-10)^2 + (11-10)^2 + (8-10)^2 + (9-10)^2 + (12-10)^2 + (8-10)^2 + (9-10)^2]$
$= \frac{1}{10}[0 + 9 + 4 + 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 4 + 1] = \frac{32}{10} = 3.2$kg²。
因为$3.2 ＜ 3.5$，所以产量均匀。
(1)10；(2)2000kg；(3)均匀。
10. 某中学开展演讲比赛活动,九(1)班、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示.
(1)根据统计图填写下表：
| 班级 | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 |
| :----- | :-------: | :-------: | :-----: |
| 九(1)班 | 85 |
| 九(2)班 |
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩较好；
(3)结合两班复赛成绩的方差,分析哪个班级的成绩比较稳定；
(4)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛,你认为哪个班的实力更强一些？
(1)根据统计图填写下表：
| 班级 | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 |
| :----- | :-------: | :-------: | :-----: |
| 九(1)班 | 85 |
85
| 85 || 九(2)班 |
85
| 80 | 100
|(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩较好；
两班平均数相同，九(1)班中位数85分高于九(2)班中位数80分，所以九(1)班复赛成绩较好。
(3)结合两班复赛成绩的方差,分析哪个班级的成绩比较稳定；
九(1)班方差$s_{1}^{2}=\frac{1}{5}×\left[(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}\right]=\frac{1}{5}×(100 + 25 + 0 + 0 + 225)=70$；九(2)班方差$s_{2}^{2}=\frac{1}{5}×\left[(70 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}+(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}\right]=\frac{1}{5}×(225 + 225 + 225 + 100 + 25)=160$。因为$s_{1}^{2}＜s_{2}^{2}$，所以九(1)班成绩更稳定。
(4)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛,你认为哪个班的实力更强一些？
九(1)班、九(2)班前两名选手的平均分分别为：九(1)班：$\frac{85 + 100}{2}=92.5$（分），九(2)班：$\frac{100 + 100}{2}=100$（分）。因为100＞92.5，所以九(2)班实力更强一些。
答案
（1）
九(1)班成绩：$75$，$80$，$85$，$85$，$100$，中位数是$85$分；
九(2)班成绩：$70$，$100$，$100$，$75$，$80$，平均数为$\frac{70 + 100 + 100 + 75 + 80}{5} = 85$（分），众数是$100$分。
填表如下：
| 班级 | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 |
| --- | --- | --- | --- |
| 九(1)班 | 85 | 85 | 85 |
| 九(2)班 | 85 | 80 | 100 |
（2）
两班平均数相同，九(1)班中位数$85$分高于九(2)班中位数$80$分，所以九(1)班复赛成绩较好。
（3）
九(1)班方差$s_{1}^{2}=\frac{1}{5}×\left[(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}\right]=\frac{1}{5}×(100 + 25 + 0 + 0 + 225)=70$；
九(2)班方差$s_{2}^{2}=\frac{1}{5}×\left[(70 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}+(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}\right]=\frac{1}{5}×(225 + 225 + 225 + 100 + 25)=160$。
因为$s_{1}^{2}＜s_{2}^{2}$，所以九(1)班成绩更稳定。
（4）
九(1)班、九(2)班前两名选手的平均分分别为：
九(1)班：$\frac{85 + 100}{2}=92.5$（分），
九(2)班：$\frac{100 + 100}{2}=100$（分）。
因为$100＞92.5$，所以九(2)班实力更强一些。
九(1)班成绩：$75$，$80$，$85$，$85$，$100$，中位数是$85$分；
九(2)班成绩：$70$，$100$，$100$，$75$，$80$，平均数为$\frac{70 + 100 + 100 + 75 + 80}{5} = 85$（分），众数是$100$分。
填表如下：
| 班级 | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 |
| --- | --- | --- | --- |
| 九(1)班 | 85 | 85 | 85 |
| 九(2)班 | 85 | 80 | 100 |
（2）
两班平均数相同，九(1)班中位数$85$分高于九(2)班中位数$80$分，所以九(1)班复赛成绩较好。
（3）
九(1)班方差$s_{1}^{2}=\frac{1}{5}×\left[(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}\right]=\frac{1}{5}×(100 + 25 + 0 + 0 + 225)=70$；
九(2)班方差$s_{2}^{2}=\frac{1}{5}×\left[(70 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}+(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}\right]=\frac{1}{5}×(225 + 225 + 225 + 100 + 25)=160$。
因为$s_{1}^{2}＜s_{2}^{2}$，所以九(1)班成绩更稳定。
（4）
九(1)班、九(2)班前两名选手的平均分分别为：
九(1)班：$\frac{85 + 100}{2}=92.5$（分），
九(2)班：$\frac{100 + 100}{2}=100$（分）。
因为$100＞92.5$，所以九(2)班实力更强一些。
11. 已知一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n}$的平均数是2,方差是3,则
(1)数据$x_{1}+2,x_{2}+2,x_{3}+2,…,x_{n}+2$的平均数是
(2)数据$3x_{1},3x_{2},3x_{3},…,3x_{n}$的平均数是
(3)数据$3x_{1}+2,3x_{2}+2,3x_{3}+2,…,3x_{n}+2$的平均数是
(1)数据$x_{1}+2,x_{2}+2,x_{3}+2,…,x_{n}+2$的平均数是
4
,方差是3
；(2)数据$3x_{1},3x_{2},3x_{3},…,3x_{n}$的平均数是
6
,方差是27
；(3)数据$3x_{1}+2,3x_{2}+2,3x_{3}+2,…,3x_{n}+2$的平均数是
8
,方差是27
.答案
(1) 4；3
(2) 6；27
(3) 8；27
(2) 6；27
(3) 8；27
解析
(1) 已知数据$x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n}$的平均数是2，即$\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} = 2$。
对于数据$x_{1}+2,x_{2}+2,x_{3}+2,…,x_{n}+2$，其平均数为：
$\frac{(x_{1}+2)+(x_{2}+2)+...+(x_{n}+2)}{n} = \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} + 2 = 2 + 2 = 4$
方差是各数据与平均数差的平方的平均值，由于每个数据都加了2，与平均数的差不变，所以方差不变，仍为3。
(2) 对于数据$3x_{1},3x_{2},3x_{3},…,3x_{n}$，其平均数为：
$\frac{3x_{1}+3x_{2}+...+3x_{n}}{n} = 3 × \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} = 3 × 2 = 6$
方差变为原方差的$3^2 = 9$倍，即$3 × 9 = 27$（根据方差的性质，数据乘以一个常数k，方差变为$k^2$倍）。但此处我们考虑的是数据与平均数的差的平方的平均值，由于数据都乘以了3，所以与平均数的差也乘以了3，方差变为$3^2 × 3 = 27$中的3是原方差，故新方差为$9 × 3 = 27 - 2 × 3^2 - 3^2的算法是错误的$，正确答案即为$3 × 3^2 = 27$中的原方差3乘以3的平方，也就是27。
(3) 对于数据$3x_{1}+2,3x_{2}+2,3x_{3}+2,…,3x_{n}+2$，其平均数为：
$\frac{(3x_{1}+2)+(3x_{2}+2)+...+(3x_{n}+2)}{n} = 3 × \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} + 2 = 3 × 2 + 2 = 8$
方差计算同(2)，因为数据都乘以了3然后加了2，加2不影响方差，所以方差为$3^2 × 3 = 27$。
对于数据$x_{1}+2,x_{2}+2,x_{3}+2,…,x_{n}+2$，其平均数为：
$\frac{(x_{1}+2)+(x_{2}+2)+...+(x_{n}+2)}{n} = \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} + 2 = 2 + 2 = 4$
方差是各数据与平均数差的平方的平均值，由于每个数据都加了2，与平均数的差不变，所以方差不变，仍为3。
(2) 对于数据$3x_{1},3x_{2},3x_{3},…,3x_{n}$，其平均数为：
$\frac{3x_{1}+3x_{2}+...+3x_{n}}{n} = 3 × \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} = 3 × 2 = 6$
方差变为原方差的$3^2 = 9$倍，即$3 × 9 = 27$（根据方差的性质，数据乘以一个常数k，方差变为$k^2$倍）。但此处我们考虑的是数据与平均数的差的平方的平均值，由于数据都乘以了3，所以与平均数的差也乘以了3，方差变为$3^2 × 3 = 27$中的3是原方差，故新方差为$9 × 3 = 27 - 2 × 3^2 - 3^2的算法是错误的$，正确答案即为$3 × 3^2 = 27$中的原方差3乘以3的平方，也就是27。
(3) 对于数据$3x_{1}+2,3x_{2}+2,3x_{3}+2,…,3x_{n}+2$，其平均数为：
$\frac{(3x_{1}+2)+(3x_{2}+2)+...+(3x_{n}+2)}{n} = 3 × \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} + 2 = 3 × 2 + 2 = 8$
方差计算同(2)，因为数据都乘以了3然后加了2，加2不影响方差，所以方差为$3^2 × 3 = 27$。
