1. 一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式:$h= -5(t-1)^{2}+7$,则小球距离地面的最大高度是()
A.1米
B.6米
C.7米
D.8米

C

对于函数$h = -5(t - 1)^2 + 7$，因为二次项系数$-5 ＜ 0$，所以该函数图象开口向下，存在最大值。当$t = 1$时，$h$取得最大值，最大值为$7$米。
C

2. 某商店销售一种帽子,若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系$y= -x^{2}+70x-800$,要想获得最大利润,则销售单价为()
A.30元
B.35元
C.40元
D.45元

B

对于二次函数$y = -x^2 + 70x - 800$，其中$a=-1$，$b=70$。
因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值。
抛物线对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{70}{2×(-1)} = 35$。
当$x=35$时，$y$取得最大值。
B

3. 如图,拱门的地面宽度为200米,两侧距地面高150米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100米,则拱门的最大高度为.

200

以CD中点为原点，CD所在直线为x轴，建立直角坐标系。
设抛物线方程为$y = ax^2 + k$。
由题意，C(-100,0)，D(100,0)，A(-50,150)，B(50,150)。
将D(100,0)代入方程：$0 = a \cdot 100^2 + k$，即$10000a + k = 0$。
将B(50,150)代入方程：$150 = a \cdot 50^2 + k$，即$2500a + k = 150$。
联立解得：$a = -\frac{1}{50}$，$k = 200$。
拱门最大高度为200米。
200

4. 如图,$AC⊥CD$,甲、乙两船分别从A地和C地同时开出,各沿箭头所指方向航行,AC两地相距10海里,甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时,多长时间后两船相距最近？最近距离是多少？

设经过$ t $小时后两船相距最近。
此时甲船航行的路程为$ 16t $海里，乙船航行的路程为$ 12t $海里。
根据题意，两船航行方向互相垂直，由勾股定理得两船距离$ d $的平方为：
$ d^2=(10 - 16t)^2 + (12t)^2 $
展开并整理得：
$ d^2=100 - 320t + 256t^2 + 144t^2=400t^2 - 320t + 100 $
对于二次函数$ d^2=400t^2 - 320t + 100 $，$ a=400＞0 $，当$ t=-\frac{b}{2a}=\frac{320}{2×400}=0.4 $时，$ d^2 $取最小值。
将$ t=0.4 $代入$ d^2 $得：
$ d^2=400×(0.4)^2 - 320×0.4 + 100=64 - 128 + 100=36 $
则$ d=\sqrt{36}=6 $
0.4小时后两船相距最近，最近距离是6海里。