1. 如图,在$\odot O$中,$AB$,$CD为\odot O$的两条弦,且$OE\perp AB于E$,$OF\perp CD于F$,且$OE = OF$。根据上述条件能推出(至少写三条)。

$AB=CD$，$\angle AOB=\angle COD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$

在$\odot O$中，$OE\perp AB$于$E$，$OF\perp CD$于$F$，$OE=OF$。
1. 由圆心到弦的距离相等，则弦长相等，可得$AB=CD$；
2. 同圆中，等弦所对的圆心角相等，可得$\angle AOB=\angle COD$；
3. 同圆中，等弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。

2. 下列说法中,正确的是()
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等
D.弦相等,所对的圆心角相等

B

A. 对于“等弦所对的弧相等”，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），所以等弦所对的弧不一定相等，该选项错误。
B. 根据圆的性质，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧称为等弧，等弧所对的弦一定相等，该选项正确。
C. 仅圆心角相等，若不在同圆或等圆中，所对的弦不一定相等，该选项错误。
D. 仅弦相等，若不在同圆或等圆中，所对的圆心角不一定相等，该选项错误。

3. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{CD}$,那么()

A.$AB＞2CD$
B.$AB＜2CD$
C.$AB = 2CD$
D.$AB与2CD$的大小无法比较
]

B

设$\overset{\frown}{CD}=n$，则$\overset{\frown}{AB}=2n$。取$\overset{\frown}{AB}$中点$E$，则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=n=\overset{\frown}{CD}$。由等弧对等弦得$AE=EB=CD$。在$\triangle ABE$中，$AE+EB＞AB$（三角形两边之和大于第三边），即$CD+CD＞AB$，故$AB＜2CD$。

4. 如图,$AB是\overset{\frown}{AB}$所对的弦,$AB的中垂线CD分别交\overset{\frown}{AB}于C$,交$AB于D$,$AD的中垂线EF分别交\overset{\frown}{AB}于E$,交$AB于F$,$DB的中垂线GH分别交\overset{\frown}{AB}于G$,交$AB于H$,下列结论中不正确的是()

A.$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CB}$
B.$\overset{\frown}{EC}= \overset{\frown}{CG}$
C.$\overset{\frown}{EC}= \overset{\frown}{AE}$
D.$EF = GH$

C

选项A：CD是AB的中垂线，由垂径定理推论，垂直平分弦的直线平分弦所对的弧，故$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，A正确。
选项B：设AB=4x，D为AB中点（AD=DB=2x），F、H分别为AD、DB中点（AF=FD=DH=HB=x）。EF、GH均垂直AB，垂足为F、H，坐标法可证E、G关于CD对称，C为弧AB中点，故$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CG}$，B正确。
选项C：设圆心O在CD上，取AB为直径（圆心O与D重合），半径2，A(-2,0)，B(2,0)，E(-1,√3)，C(0,2)。弧AE对应圆心角∠AOE=60°，弧EC对应∠EOC=30°，故$\overset{\frown}{EC}\neq\overset{\frown}{AE}$，C错误。
选项D：由坐标计算，EF=GH=√3，D正确。

5. 如图,在$\odot O$中,弦$AB与弦CD$相交,且$AB = CD$。求证：$AC = BD$。
]

连接OA, OB, OC, OD。
∵AB=CD，OA=OB=OC=OD，
∴△OAB≌△OCD（SSS）。
∴∠AOB=∠COD。
∴∠AOB - ∠COB = ∠COD - ∠COB，即∠AOC=∠BOD。
∵OA=OC=OB=OD，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS）。
∴AC=BD。