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4. 判断下列两组三角形是否相似,并说明理由.
(1) $\triangle ABC和\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$都是等边三角形.
(2) 在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$A C= B C$；在$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$中,$\angle C^{\prime}=90^{\circ}$,$A^{\prime} C^{\prime}=B^{\prime} C^{\prime}$.
(1) $\triangle ABC和\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$都是等边三角形.
(2) 在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$A C= B C$；在$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$中,$\angle C^{\prime}=90^{\circ}$,$A^{\prime} C^{\prime}=B^{\prime} C^{\prime}$.
答案
$(1)$
解：因为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$都是等边三角形，
所以$\angle A=\angle B=\angle C = 60^{\circ}$，$\angle A'=\angle B'=\angle C' = 60^{\circ}$，
即$\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$，$\angle C=\angle C'$。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
$(2)$
解：在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC$，所以$\angle A=\angle B = 45^{\circ}$；
在$\triangle A'B'C'$中，$\angle C' = 90^{\circ}$，$A'C' = B'C'$，所以$\angle A'=\angle B' = 45^{\circ}$。
则$\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$，$\angle C=\angle C'$。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
综上，$(1)$相似；$(2)$相似。
解：因为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$都是等边三角形，
所以$\angle A=\angle B=\angle C = 60^{\circ}$，$\angle A'=\angle B'=\angle C' = 60^{\circ}$，
即$\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$，$\angle C=\angle C'$。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
$(2)$
解：在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC$，所以$\angle A=\angle B = 45^{\circ}$；
在$\triangle A'B'C'$中，$\angle C' = 90^{\circ}$，$A'C' = B'C'$，所以$\angle A'=\angle B' = 45^{\circ}$。
则$\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$，$\angle C=\angle C'$。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
综上，$(1)$相似；$(2)$相似。
5. 已知：如图,$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$,$A B= 12 \mathrm{~cm}$,$A D= 6 \mathrm{~cm}$,$B C= 10 \mathrm{~cm}$,$\angle A= 56^{\circ}$,$\angle ADE= 40^{\circ}$.
(1) 求$\angle ACB$的度数.
(2) 求$D E$的长.
(1) 求$\angle ACB$的度数.
(2) 求$D E$的长.
答案
1. （1）
因为$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，根据相似三角形的性质：相似三角形对应角相等。
所以$\angle AED=\angle ACB$。
在$\triangle ADE$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ADE+\angle AED = 180^{\circ}$。
已知$\angle A = 56^{\circ}$，$\angle ADE = 40^{\circ}$，则$\angle AED=180^{\circ}-\angle A - \angle ADE$。
把$\angle A = 56^{\circ}$，$\angle ADE = 40^{\circ}$代入可得：$\angle AED=180^{\circ}-56^{\circ}-40^{\circ}=84^{\circ}$。
所以$\angle ACB = 84^{\circ}$。
2. （2）
解：因为$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
已知$AB = 12\mathrm{cm}$，$AD = 6\mathrm{cm}$，$BC = 10\mathrm{cm}$，设$DE=x\mathrm{cm}$。
则$\frac{6}{12}=\frac{x}{10}$。
交叉相乘得：$12x=6×10$。
即$12x = 60$，解得$x = 5$。
综上，（1）$\angle ACB$的度数为$84^{\circ}$；（2）$DE$的长为$5\mathrm{cm}$。
因为$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，根据相似三角形的性质：相似三角形对应角相等。
所以$\angle AED=\angle ACB$。
在$\triangle ADE$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ADE+\angle AED = 180^{\circ}$。
已知$\angle A = 56^{\circ}$，$\angle ADE = 40^{\circ}$，则$\angle AED=180^{\circ}-\angle A - \angle ADE$。
把$\angle A = 56^{\circ}$，$\angle ADE = 40^{\circ}$代入可得：$\angle AED=180^{\circ}-56^{\circ}-40^{\circ}=84^{\circ}$。
所以$\angle ACB = 84^{\circ}$。
2. （2）
解：因为$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
已知$AB = 12\mathrm{cm}$，$AD = 6\mathrm{cm}$，$BC = 10\mathrm{cm}$，设$DE=x\mathrm{cm}$。
则$\frac{6}{12}=\frac{x}{10}$。
交叉相乘得：$12x=6×10$。
即$12x = 60$，解得$x = 5$。
综上，（1）$\angle ACB$的度数为$84^{\circ}$；（2）$DE$的长为$5\mathrm{cm}$。
6. 已知：如图,$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,$\angle B$,$\angle E$为钝角. 求$x$,$y$的值.
答案
$x=12,y=7$或$x=\frac{96}{7},y=\frac{64}{7}$
解析
解：情况一：$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$
$\frac{14}{y}=\frac{16}{8}=\frac{24}{x}$
由$\frac{16}{8}=2$，得$\frac{14}{y}=2$，$y=7$；$\frac{24}{x}=2$，$x=12$
情况二：$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{DF}$
$\frac{14}{8}=\frac{16}{y}=\frac{24}{x}$
由$\frac{14}{8}=\frac{7}{4}$，得$\frac{16}{y}=\frac{7}{4}$，$y=\frac{64}{7}$；$\frac{24}{x}=\frac{7}{4}$，$x=\frac{96}{7}$
综上，$x=12,y=7$或$x=\frac{96}{7},y=\frac{64}{7}$
$\frac{14}{y}=\frac{16}{8}=\frac{24}{x}$
由$\frac{16}{8}=2$，得$\frac{14}{y}=2$，$y=7$；$\frac{24}{x}=2$，$x=12$
情况二：$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{DF}$
$\frac{14}{8}=\frac{16}{y}=\frac{24}{x}$
由$\frac{14}{8}=\frac{7}{4}$，得$\frac{16}{y}=\frac{7}{4}$，$y=\frac{64}{7}$；$\frac{24}{x}=\frac{7}{4}$，$x=\frac{96}{7}$
综上，$x=12,y=7$或$x=\frac{96}{7},y=\frac{64}{7}$
