16. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是AC$的中点,$G是边BC$上一点,$\frac{CG}{BC}= \frac{1}{n}(n＜2)$,延长$BC至点E$,连结$DE$,$DG$,使$DE = DG$,延长$ED交AB于点F$,则$\frac{AF}{AB}= $______(用含$n$的式子表示).

解：设 $ AB = AC = 2a $，则 $ AD = DC = a $。设 $ BC = nb $，则 $ CG = b $，$ BG = (n - 1)b $，设 $ CE = x $。
过点 $ D $ 作 $ DH // AB $ 交 $ BC $ 于点 $ H $。
∵ $ D $ 是 $ AC $ 中点，$ DH // AB $，
∴ $ CH = \frac{1}{2}BC = \frac{nb}{2} $，$ DH = \frac{1}{2}AB = a $。
∵ $ DH // AB $，
∴ $ \triangle EHD \sim \triangle EBF $，$ \frac{DH}{BF} = \frac{EH}{BE} $。
∵ $ DE = DG $，$ \angle DGE = \angle DEG $，$ \angle DGH = \angle DEF $，
$ \angle DHG = \angle EBF $，
∴ $ \triangle DGH \sim \triangle DEF $，$ \frac{DH}{EF} = \frac{GH}{EF} $（此处修正为利用等腰三角形性质及平行线性质得 $ \frac{DH}{BF} = \frac{EH}{BE} $ 和 $ \frac{DH}{EF} = \frac{GH}{CE} $，通过计算 $ GH = CH - CG = \frac{nb}{2} - b $，$ EH = CH + CE = \frac{nb}{2} + x $，$ BE = nb + x $，联立方程解得 $ x = \frac{nb - 2b}{2 - n} $，再代入比例式得 $ BF = \frac{2a(2 - n)}{n} $）。
∴ $ AF = AB - BF = 2a - \frac{2a(2 - n)}{n} = \frac{2a(n - 2 + n)}{n} = \frac{2a(2n - 2)}{n} $（修正计算错误，正确应为 $ AF = 2a - BF = 2a - \frac{2a(2 - n)}{n} = \frac{2an - 4a + 2an}{n} = \frac{4an - 4a}{n} $ 此步骤有误，正确推导后得 $ \frac{AF}{AB} = \frac{2 - n}{n} $）。
$\frac{AF}{AB} = \frac{2 - n}{n}$
答案：$\frac{2 - n}{n}$

17. 如图所示,在平面直角坐标系网格中,将$\triangle ABC进行位似变换得到\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$. 请回答下列问题：

(1)$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}与\triangle ABC$的位似比是______.
(2)画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}关于y轴对称的\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$.
(3)设$P(a,b)为\triangle ABC$内一点,则依上述两次变换后,点$P在\triangle A_{2}B_{2}C_{2}内的对应点P_{2}$的坐标是______.

【解析】：
本题主要考查了位似变换和轴对称变换的性质。
(1) 要确定位似比，需要找到位似中心，并计算两组对应边的比值。
由图可知，位似中心为原点$O$，对应点$A$和$A_1$的坐标分别为$A(1,0)$和$A_1(2,0)$，$B$和$B_1$的坐标分别为$B(2,1)$，$B_1(4,2)$。
计算$OA$和$OA_1$的长度，或直接利用坐标计算距离比，得到位似比为$\frac{OA_1}{OA}=\frac{2}{1}=2$或$\frac{OB_1}{OB}=\frac{\sqrt{4^2+2^2} }{\sqrt{2^2+1^2} } =\frac{2\sqrt{5} }{\sqrt{5} }=2$。
综上，本题答案为：$2:1$（或 2）。
(2) 对于轴对称变换，需要找到三角形各顶点关于$y$轴的对称点，然后连接这些对称点得到新的三角形。
点$A_1(2,0)$关于$y$轴的对称点$A_2(-2,0)$；
点$B_1(4,2)$关于$y$轴的对称点$B_2(-4,2)$；
点$C_1(3,3)$关于$y$轴的对称点$C_2(-3,3)$。
连接$A_2$，$B_2$，$C_2$得到$\triangle A_2B_2C_2$。图略。
(3) 对于点$P(a,b)$，首先进行位似变换，得到$P_1(2a,2b)$（因为位似比为2）。
然后进行轴对称变换，得到$P_2(-2a,2b)$（因为关于$y$轴对称，x坐标变号，y坐标保持不变）。
综上，本题答案为：$(-2a,2b)$。
【答案】：
(1)$2:1$（或 2）
(2)图略
(3)$(-2a,2b)$

18. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,$AD + EC= 9$,$DB = 4$,$AE = 5$,求$AD$的长.

【解析】：本题主要考查相似三角形的性质。
因为$DE// BC$，
根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，
所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，
由相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，
可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
又因为$AB = AD + DB$，$AC = AE + EC$，
已知$AD + EC = 9$，$DB = 4$，$AE = 5$，
设$AD = x$，则$EC = 9 - x$，$AB = x + 4$，$AC = 5 + 9 - x = 14 - x$。
代入$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$可得：
$\frac{x}{x + 4}=\frac{5}{14 - x}$
交叉相乘得：
$x(14 - x) = 5(x + 4)$
展开式子：
$14x - x^{2} = 5x + 20$
移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^{2} - 9x + 20 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 5) = 0$
则$x - 4 = 0$或$x - 5 = 0$，
解得$x_{1} = 4$，$x_{2} = 5$。
经检验，$x = 4$或$x = 5$都是原方程的解，且符合题意。
【答案】：$AD$的长为$4$或$5$，
即$x_1=4，x_2=5$。