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14. (★)(2022·梧州)一元二次方程 $(x-2)(x+7)= 0$ 的根是
$x_{1} = - 7$，$x_{2} = 2$（或填写“$-7$或$2$”）
.答案
$x_{1} = - 7$，$x_{2} = 2$（或填写“$-7$或$2$”）
解析
根据因式分解法，若两个数的乘积为0，则至少有一个数为0。
由方程 $(x-2)(x+7)= 0$，可以得到两个方程：
$x - 2 = 0$，解得 $x = 2$；
$x + 7 = 0$，解得 $x = -7$。
所以，方程 $(x-2)(x+7)= 0$ 的根为 $x_{1} = - 7$，$x_{2} = 2$。
由方程 $(x-2)(x+7)= 0$，可以得到两个方程：
$x - 2 = 0$，解得 $x = 2$；
$x + 7 = 0$，解得 $x = -7$。
所以，方程 $(x-2)(x+7)= 0$ 的根为 $x_{1} = - 7$，$x_{2} = 2$。
15. (★)(2021·齐齐哈尔)解方程：$x(x-7)= 8(7-x)$.
答案
答题步骤：
原方程：$x(x - 7) = 8(7 - x)$，
将方程右边变形为：$x(x - 7) = -8(x - 7)$，
移项得：$x(x - 7) + 8(x - 7) = 0$，
提取公因式$(x - 7)$得：$(x - 7)(x + 8) = 0$，
根据因式分解法，得到两个方程：
$x - 7 = 0$ 或 $x + 8 = 0$，
解得：$x_{1} = 7$，$x_{2} = -8$。
原方程：$x(x - 7) = 8(7 - x)$，
将方程右边变形为：$x(x - 7) = -8(x - 7)$，
移项得：$x(x - 7) + 8(x - 7) = 0$，
提取公因式$(x - 7)$得：$(x - 7)(x + 8) = 0$，
根据因式分解法，得到两个方程：
$x - 7 = 0$ 或 $x + 8 = 0$，
解得：$x_{1} = 7$，$x_{2} = -8$。
1. (★) 方程 $ x^{2}-3x + 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1} = $
1
,$ x_{2} = $2
,则 $ x_{1} + x_{2} = $3
,$ x_{1}x_{2} = $2
.答案
$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2$。（按照横线顺序依次填入）1，2，3，2。
解析
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，根与系数的关系为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$。
在方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 中，$a = 1, b = -3, c = 2$。
根据因式分解法，方程可以分解为：
$(x - 1)(x - 2) = 0$，
由此得到方程的两个根为 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 2$。
根据根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$，
$x_1 × x_2 = \frac{2}{1} = 2$。
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$。
在方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 中，$a = 1, b = -3, c = 2$。
根据因式分解法，方程可以分解为：
$(x - 1)(x - 2) = 0$，
由此得到方程的两个根为 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 2$。
根据根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$，
$x_1 × x_2 = \frac{2}{1} = 2$。
2. (★) 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,则有 $ x_{1}+x_{2} = $
$-\frac{b}{a}$
,$ x_{1}x_{2} = $$\frac{c}{a}$
.答案
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
解析
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$（$a \neq 0$），若方程有两个实数根 $x_1$ 和 $x_2$，根据一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），有：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
两根之积 $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
两根之积 $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
3. (★) 一元二次方程 $ 3x^{2}-7x = 0 $ 的两个根为 $ x_{1},x_{2} $,则 $ x_{1}+x_{2} = $
$\frac{7}{3}$
,$ x_{1}x_{2} = $$0$
.答案
$\frac{7}{3}$，$0$
解析
方程化为一般形式：$3x^2 - 7x + 0 = 0$，其中$a=3$，$b=-7$，$c=0$。根据根与系数的关系，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{3} = \frac{7}{3}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{3} = 0$。
4. (★) 一元二次方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 两根的和与两根的积分别是 【
A.$ 1,1 $
B.$ -1,-1 $
C.$ 1,-1 $
D.$ -1,1 $
C
】A.$ 1,1 $
B.$ -1,-1 $
C.$ 1,-1 $
D.$ -1,1 $
答案
C
解析
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两根之和为 $-\frac{b}{a}$，两根之积为 $\frac{c}{a}$。
对于方程 $x^2 - x - 1 = 0$，其中 $a = 1$，$b = -1$，$c = -1$。
两根之和为 $-\frac{-1}{1} = 1$，两根之积为 $\frac{-1}{1} = -1$。
对于方程 $x^2 - x - 1 = 0$，其中 $a = 1$，$b = -1$，$c = -1$。
两根之和为 $-\frac{-1}{1} = 1$，两根之积为 $\frac{-1}{1} = -1$。
5. (★) 一元二次方程 $ 3x^{2}+x = 2 $ 的两个根为 $ x_{1},x_{2} $,则 $ x_{1}+x_{2} = $
$-\frac{1}{3}$
,$ x_{1}x_{2} = $$-\frac{2}{3}$
.答案
【解析】：先将方程化为标准形式 $3x^2 + x - 2 = 0$。根据一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根与系数关系，即韦达定理，根的和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，根的积 $x_1x_2 = \frac{c}{a}$。此处 $a = 3$，$b = 1$，$c = -2$，因此 $x_1 + x_2 = -\frac{1}{3}$，$x_1x_2 = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$。
【答案】：$x_1 + x_2 = -\frac{1}{3}$，$x_1x_2 = -\frac{2}{3}$
答案填写格式为：$-\frac{1}{3}$ 的位置填 $-\frac{1}{3}$（或对应简化形式），$-\frac{2}{3}$ 同理，根据题目横线顺序：
第一个空：$-\frac{1}{3}$
第二个空：$-\frac{2}{3}$
由于题目要求直接填答案，故：
【答案】：$-\frac{1}{3}$, $-\frac{2}{3}$
（若按横线顺序填写，则为）
【答案】：$-\frac{1}{3}$，$-\frac{2}{3}$
【答案】：$x_1 + x_2 = -\frac{1}{3}$，$x_1x_2 = -\frac{2}{3}$
答案填写格式为：$-\frac{1}{3}$ 的位置填 $-\frac{1}{3}$（或对应简化形式），$-\frac{2}{3}$ 同理，根据题目横线顺序：
第一个空：$-\frac{1}{3}$
第二个空：$-\frac{2}{3}$
由于题目要求直接填答案，故：
【答案】：$-\frac{1}{3}$, $-\frac{2}{3}$
（若按横线顺序填写，则为）
【答案】：$-\frac{1}{3}$，$-\frac{2}{3}$
6. (★★) 已知 $ m,n $ 是一元二次方程 $ x^{2}+x - 2025 = 0 $ 的两个实数根,则代数式 $ m^{2}+2m + n $ 的值等于
2024
.答案
2024
解析
因为$m$是方程$x^{2}+x - 2025 = 0$的根，所以$m^{2}+m - 2025 = 0$，即$m^{2}+m = 2025$。又因为$m,n$是方程的两个根，由根与系数的关系得$m + n=-1$。则$m^{2}+2m + n=(m^{2}+m)+(m + n)=2025 + (-1)=2024$。
7. (★★) 请你写出一个二次项系数为 $ 1 $,两根之积为 $ 3 $ 的一元二次方程：
$x^2 + 3 = 0$
.答案
$x^2 + 3 = 0$
解析
设一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，二次项系数为1。由根与系数的关系，两根之积$c = 3$，取$b = 0$，方程为$x^2 + 0x + 3 = 0$，即$x^2 + 3 = 0$。
8. (★★) 已知方程 $ 2x^{2}-4x - 1 = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $,不解方程,求下列各式的值.
(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $；
(2) $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $；
(3) $ (x_{1}+1)(x_{2}+1) $.
(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $；
(2) $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $；
(3) $ (x_{1}+1)(x_{2}+1) $.
答案
答题卡：
(1)
由一元二次方程 $2x^{2} - 4x - 1 = 0$ 的根与系数关系，得：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{-4}{2} = 2$，
$x_{1}x_{2} = -\frac{1}{2} $，
则：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 2^{2} - 2 × (-\frac{1}{2}) = 5$。
(2)
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{2}{-\frac{1}{2}} = -4$。
(3)
$(x_{1} + 1)(x_{2} + 1) = x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = -\frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{5}{2}$。
(1)
由一元二次方程 $2x^{2} - 4x - 1 = 0$ 的根与系数关系，得：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{-4}{2} = 2$，
$x_{1}x_{2} = -\frac{1}{2} $，
则：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 2^{2} - 2 × (-\frac{1}{2}) = 5$。
(2)
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{2}{-\frac{1}{2}} = -4$。
(3)
$(x_{1} + 1)(x_{2} + 1) = x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = -\frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{5}{2}$。
