11. 若反比例函数$y= \frac{k}{x}$的图象不经过第三象限,则 k 的值可以是.(写出 1 个即可)

$- 1$（答案不唯一，写出一个即可）。

反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象不经过第三象限，则必须满足当$x＜0$时，$y\leq0$（实际在第三象限$x＜0,y＜0$不会出现），这要求$k＞0$时，函数在$x＜0$时，$y$值为负的条件不满足（实际我们通过分析知道，当$k＞0$时，函数图像位于第一，三象限，要使其不经过第三象限，是不可能的，应该是当$k ＜ 0$的否定（即我们考虑的是不经过第三象限的情况，而$k＞0$时必经过第三象限），从另一个角度，即$k$必须小于0时，函数图像位于第二，四象限，不会进入第三象限。因此，$k$必须小于 0，可以选择$k = -1$，$k=-2$等任意负数，答案不唯一。

12. 在平面直角坐标系中,直线$y = x与双曲线y= \frac{m}{x}$交于 A,B 两点.若 A,B 两点的纵坐标分别为$y_1,y_2$,则$y_1 + y_2$的值为.

0

联立直线方程 $y = x$ 和双曲线方程 $y = \frac{m}{x}$，得到：
$x = \frac{m}{x}$，
$x^2 = m$，
由于 $A$ 和 $B$ 是交点，所以它们对应的 $x$ 值是方程 $x^2 = m$ 的两个根，即 $x_1$ 和 $x_2$，由于 $y = x$，所以 $y_1 = x_1$ 和 $y_2 = x_2$。
根据二次方程的性质，其两根之和为：
$x_1 + x_2 = 0$（因为方程 $x^2 = m$ 的两个根互为相反数），
由于 $y_1 = x_1$ 和 $y_2 = x_2$，所以：
$y_1 + y_2 = x_1 + x_2 = 0$。

13. 若正比例函数$y = k_1x的图象与反比例函数y= \frac{k_2}{x}的图象都经过点(2,3)$,则方程$k_1x= \frac{k_2}{x}$的解是.

$x = \pm 2$（或 写为 $x=2$ 或 $x=-2$，根据题目要求填写形式）

将点$(2,3)$分别代入$y = k_1x$与$y = \frac{k_2}{x}$中，
对于$y = k_1x$，代入得：
$3 = 2k_1$
解得：
$k_1 = \frac{3}{2}$
对于$y = \frac{k_2}{x}$，代入得：
$3 = \frac{k_2}{2}$
解得：
$k_2 = 6$
将求得的$k_1$和$k_2$代入方程$k_1x = \frac{k_2}{x}$，得：
$\frac{3}{2}x = \frac{6}{x}$
两边同时乘以$2x$，得：
$3x^2 = 12$
解得：
$x^2 = 4$
因此，方程的解为：
$x = \pm 2$

14. 已知反比例函数$y= \frac{k}{x}的图象过点(-2,a),(2,b)$.若$a - b= -6$,则 ab 的值为.

$-9$（题目是填空题，直接填数值 -9 即可）

将点$(-2,a)$代入反比例函数$y= \frac{k}{x}$，得$a = \frac{k}{-2}$，即$k = -2a$。
将点$(2,b)$代入反比例函数$y = \frac{k}{x}$，得$b = \frac{k}{2}$，即$k = 2b$。
由$k = -2a$和$k = 2b$，可得$-2a = 2b$，即$a = -b$。
已知$a - b = -6$，将$a = -b$代入$a - b = -6$，得到$-b - b = -6$，即$-2b = -6$，解得$b = 3$。
因为$a = -b$，所以$a = -3$。
所以$ab = (-3)×3 = -9$。

15. 在压力不变的情况下,某物体所受到的压强 P(单位:Pa)是它的受力面积 S(单位:$m^2$)的反比例函数,其图象如图所示.当$S = 0.2$时,该物体所受到的压强为Pa.

500

设压强$P$与受力面积$S$的反比例函数关系为$P=\frac{k}{S}(k\neq0)$。
由图象可知，当$S = 0.1$时，$P = 1000$，代入$P=\frac{k}{S}$可得：$1000=\frac{k}{0.1}$，解得$k = 100$。
所以反比例函数关系式为$P=\frac{100}{S}$。
当$S = 0.2$时，$P=\frac{100}{0.2}=500$。

16. 如图,在平面直角坐标系中,等腰三角形 ABC 的腰 AB 经过原点,底边 BC 与 x 轴平行,反比例函数$y= \frac{k}{x}$的图象经过 A,B 两点.若点 A 的坐标为$(1,4)$,则点 C 的坐标为.

(3,-4)

∵点A(1,4)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，∴$k=1×4=4$，反比例函数为$y=\frac{4}{x}$。
直线AB过原点，设其解析式为$y=mx$，将A(1,4)代入得$m=4$，∴直线AB：$y=4x$。
设点B$(a,b)$，∵B在直线AB和反比例函数上，∴$\begin{cases}b=4a\\b=\frac{4}{a}\end{cases}$，解得$a^2=1$，$a=-1$（$a=1$为点A，舍去），则$b=4×(-1)=-4$，∴B$(-1,-4)$。
∵BC//x轴，∴点C纵坐标为$-4$，设C$(c,-4)$。
∵ABC是等腰三角形，腰AB=AC，$AB=\sqrt{(1+1)^2+(4+4)^2}=2\sqrt{17}$，
$AC=\sqrt{(c-1)^2+(-4-4)^2}=2\sqrt{17}$，即$(c-1)^2+64=68$，解得$c=3$（$c=-1$为点B，舍去），∴C$(3,-4)$。

17. 如图,在平面直角坐标系中,函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)的图象经过Rt\triangle OAB$的斜边 OA 的中点 D,交 AB 于点 C.若点 B 在 x 轴上,点 A 的坐标为$(6,4)$,则$\triangle BOC$的面积为.

$3$

本题可先根据点$D$是$OA$的中点求出点$D$的坐标，再将点$D$的坐标代入反比例函数解析式求出$k$的值，进而得到反比例函数的表达式，然后求出点$C$的横坐标，最后根据三角形面积公式求出$\triangle BOC$的面积。
步骤一：求点$D$的坐标
已知点$A$的坐标为$(6,4)$，因为点$D$是$Rt\triangle OAB$的斜边$OA$的中点，根据中点坐标公式：若有两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则它们的中点$P$的坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得点$D$的坐标为$(\frac{0 + 6}{2},\frac{0 + 4}{2})$，即$(3,2)$。
步骤二：求反比例函数的表达式
因为函数$y = \frac{k}{x}(x\gt0)$的图象经过点$D(3,2)$，将点$D$的坐标代入函数表达式可得：$2=\frac{k}{3}$，解得$k = 6$，所以反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}(x\gt0)$。
步骤三：求点$C$的横坐标及$OB$的长度
因为$Rt\triangle OAB$中，点$A$的坐标为$(6,4)$，点$B$在$x$轴上，所以$AB\perp x$轴，$AB$的长度为点$A$的纵坐标$4$，$OB$的长度为点$A$的横坐标$6$。
又因为反比例函数$y = \frac{6}{x}(x\gt0)$的图象交$AB$于点$C$，而$AB\perp x$轴，所以点$C$的横坐标与点$A$的横坐标相同，为$6$。
将$x = 6$代入$y = \frac{6}{x}$，可得$y = \frac{6}{6}=1$，即点$C$的坐标为$(6,1)$，那么$BC$的长度为点$C$的纵坐标$1$。
步骤四：求$\triangle BOC$的面积
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，在$\triangle BOC$中，$OB$为底边，$BC$为高，已知$OB = 6$，$BC = 1$，则$\triangle BOC$的面积为：$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OB× BC=\frac{1}{2}×6×1 = 3$。

18. 如图,直线$y = kx + b与函数y= \frac{m}{x}(x＞0)$的图象交于第一象限内的点 A,且与 x 轴负半轴交于点 B,过点 A 作$AC\perp x$轴于点 C,D 为 AB 的中点,线段 CD 交 y 轴于点 E,连接 BE.若$\triangle BEC的面积为\frac{27}{2}$,则 m 的值为.

27

设点$A(a,\frac{m}{a})$（$a＞0$，$m＞0$），则$C(a,0)$。设$B(-t,0)$（$t＞0$），$D$为$AB$中点，$D\left(\frac{a-t}{2},\frac{m}{2a}\right)$。
直线$CD$过$C(a,0)$和$D\left(\frac{a-t}{2},\frac{m}{2a}\right)$，设其解析式为$y=px+q$。代入$C(a,0)$得$0=pa+q$，即$q=-pa$。代入$D$得$\frac{m}{2a}=p\cdot\frac{a-t}{2}-pa$，解得$p=-\frac{m}{a(a+t)}$，$q=\frac{m}{a+t}$，故直线$CD:y=-\frac{m}{a(a+t)}x+\frac{m}{a+t}$。
令$x=0$得$E(0,\frac{m}{a+t})$。$\triangle BEC$中，$B(-t,0)$，$C(a,0)$，$BC=a+t$，高为$E$的纵坐标$\frac{m}{a+t}$。
面积$S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}\cdot(a+t)\cdot\frac{m}{a+t}=\frac{m}{2}=\frac{27}{2}$，解得$m=27$。