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22. 刚上初中的琪琪为了更加高效地完成作业,进行限时训练,特意去商店买了一块机械手表,爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题,如图 1 是一块手表,我们可以理解成如图 2 的数学模型(点 $A$ 和点 $D$ 是表带的两端,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 在同一条线段上).
(1)已知表盘直径 $BC$ 为 $3\mathrm{cm}$,$CD:AB = 2:1$,若 $B$ 是 $AC$ 中点,求手表 $AD$ 全长.
(2)在某个时刻,分针 $ON$ 指向表盘上的数字“6”(此时 $ON$ 与 $OC$ 重合).时针为 $OE$,琪琪一看现在正好是 $8:30$,如图 3.
① $8:30$ 时分针和时针的夹角为______$^{\circ}$；
② 作射线 $OF$,使 $\angle EOF = 20^{\circ}$,求此时 $\angle BOF$ 的度数.
(3)如图 4,自 $8:30$ 之后,$OM$ 始终是 $\angle EON$ 的角平分线(分针还是 $ON$),在一小时以内,经过多少分钟后,$\angle EOM$ 的度数是 $25^{\circ}$？
（1）∵B 是 AC 中点，
∴AB=BC=$\frac {1}{2}$AC=3cm.
∴AC=6cm.
∵CD:AB=2:1,
∴CD=6cm,
∴AD=AC+CD=12cm. （2）①
∴∠BOF=180°-∠NOF=125°;当 OF 在∠EON外部时,∠BOF=180°-(∠EON+∠EOF)=180°-(75°+20°)=85°.综上所述：∠BOF=125°或85°. （3）设经过时间为 t min，时针与分针的速度差为6°-0.5°=5.5°,
∴∠EON=|75°-5.5t|.
∵OM 平分∠EON,
∴∠EOM=$\frac {|75°-5.5t|}{2}=25°$.①$\frac {75°-5.5t}{2}=25°$,解得t=$\frac {50}{11}$(min);②$\frac {5.5t-75°}{2}=25°$,解得t=$\frac {250}{11}$(min).综上所述：经过$\frac {50}{11}min$或$\frac {250}{11}min$时,∠EOM 的度数是25°.
(1)已知表盘直径 $BC$ 为 $3\mathrm{cm}$,$CD:AB = 2:1$,若 $B$ 是 $AC$ 中点,求手表 $AD$ 全长.
(2)在某个时刻,分针 $ON$ 指向表盘上的数字“6”(此时 $ON$ 与 $OC$ 重合).时针为 $OE$,琪琪一看现在正好是 $8:30$,如图 3.
① $8:30$ 时分针和时针的夹角为______$^{\circ}$；
② 作射线 $OF$,使 $\angle EOF = 20^{\circ}$,求此时 $\angle BOF$ 的度数.
(3)如图 4,自 $8:30$ 之后,$OM$ 始终是 $\angle EON$ 的角平分线(分针还是 $ON$),在一小时以内,经过多少分钟后,$\angle EOM$ 的度数是 $25^{\circ}$？
（1）∵B 是 AC 中点，
∴AB=BC=$\frac {1}{2}$AC=3cm.
∴AC=6cm.
∵CD:AB=2:1,
∴CD=6cm,
∴AD=AC+CD=12cm. （2）①
75
② 当 OF 在∠EON内部时,∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°,∴∠BOF=180°-∠NOF=125°;当 OF 在∠EON外部时,∠BOF=180°-(∠EON+∠EOF)=180°-(75°+20°)=85°.综上所述：∠BOF=125°或85°. （3）设经过时间为 t min，时针与分针的速度差为6°-0.5°=5.5°,
∴∠EON=|75°-5.5t|.
∵OM 平分∠EON,
∴∠EOM=$\frac {|75°-5.5t|}{2}=25°$.①$\frac {75°-5.5t}{2}=25°$,解得t=$\frac {50}{11}$(min);②$\frac {5.5t-75°}{2}=25°$,解得t=$\frac {250}{11}$(min).综上所述：经过$\frac {50}{11}min$或$\frac {250}{11}min$时,∠EOM 的度数是25°.
答案
（1）
∵B 是 AC 中点，
∴AB=BC=$\frac {1}{2}$AC=3cm.
∴AC=6cm.
∵CD:AB=2:1,
∴CD=6cm,
∴AD=AC+CD=12cm. （2）① 75 ② 当 OF 在∠EON内部时,∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°,
∴∠BOF=180°-∠NOF=125°;当 OF 在∠EON外部时,∠BOF=180°-(∠EON+∠EOF)=180°-(75°+20°)=85°.综上所述：∠BOF=125°或85°. （3）设经过时间为 t min，时针与分针的速度差为6°-0.5°=5.5°,
∴∠EON=|75°-5.5t|.
∵OM 平分∠EON,
∴∠EOM=$\frac {|75°-5.5t|}{2}=25°$.①$\frac {75°-5.5t}{2}=25°$,解得t=$\frac {50}{11}$(min);②$\frac {5.5t-75°}{2}=25°$,解得t=$\frac {250}{11}$(min).综上所述：经过$\frac {50}{11}min$或$\frac {250}{11}min$时,∠EOM 的度数是25°.
∵B 是 AC 中点，
∴AB=BC=$\frac {1}{2}$AC=3cm.
∴AC=6cm.
∵CD:AB=2:1,
∴CD=6cm,
∴AD=AC+CD=12cm. （2）① 75 ② 当 OF 在∠EON内部时,∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°,
∴∠BOF=180°-∠NOF=125°;当 OF 在∠EON外部时,∠BOF=180°-(∠EON+∠EOF)=180°-(75°+20°)=85°.综上所述：∠BOF=125°或85°. （3）设经过时间为 t min，时针与分针的速度差为6°-0.5°=5.5°,
∴∠EON=|75°-5.5t|.
∵OM 平分∠EON,
∴∠EOM=$\frac {|75°-5.5t|}{2}=25°$.①$\frac {75°-5.5t}{2}=25°$,解得t=$\frac {50}{11}$(min);②$\frac {5.5t-75°}{2}=25°$,解得t=$\frac {250}{11}$(min).综上所述：经过$\frac {50}{11}min$或$\frac {250}{11}min$时,∠EOM 的度数是25°.
