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1. 将下列各式分解因式,结果中不含有因式 $ (x + 2) $ 的是(
A.$ x^{2} - 4 $
B.$ (x - 2)^{2} + 8(x - 2) + 16 $
C.$ x^{2} - 4x + 4 $
D.$ x^{2} + 2x $
C
)A.$ x^{2} - 4 $
B.$ (x - 2)^{2} + 8(x - 2) + 16 $
C.$ x^{2} - 4x + 4 $
D.$ x^{2} + 2x $
答案
C
解析
A.$x^{2}-4=(x+2)(x-2)$，含有因式$(x+2)$；
B.$(x-2)^{2}+8(x-2)+16=[(x-2)+4]^{2}=(x+2)^{2}$，含有因式$(x+2)$；
C.$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$，不含有因式$(x+2)$；
D.$x^{2}+2x=x(x+2)$，含有因式$(x+2)$。
B.$(x-2)^{2}+8(x-2)+16=[(x-2)+4]^{2}=(x+2)^{2}$，含有因式$(x+2)$；
C.$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$，不含有因式$(x+2)$；
D.$x^{2}+2x=x(x+2)$，含有因式$(x+2)$。
2. 把代数式 $ -x^{2} + 4x - 4 $ 分解因式,结果正确的是(
A.$ (x + 2)^{2} $
B.$ (x - 2)^{2} $
C.$ -(x + 2)^{2} $
D.$ -(x - 2)^{2} $
D
)A.$ (x + 2)^{2} $
B.$ (x - 2)^{2} $
C.$ -(x + 2)^{2} $
D.$ -(x - 2)^{2} $
答案
D
解析
原式 $ -x^{2} + 4x - 4 $
= $ -(x^{2} - 4x + 4) $
由于 $x^{2} - 4x + 4$ 是完全平方式，可以表示为 $ (x - 2)^{2} $，
所以原式 = $ -(x - 2)^{2} $。
= $ -(x^{2} - 4x + 4) $
由于 $x^{2} - 4x + 4$ 是完全平方式，可以表示为 $ (x - 2)^{2} $，
所以原式 = $ -(x - 2)^{2} $。
3. 如果多项式 $ x^{2} + 1 $ 加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,那么添加的单项式不可以是(
A.$ 2x $
B.$ -2x $
C.$ \frac{1}{4}x^{4} $
D.$ -\frac{1}{4}x^{4} $
D
)A.$ 2x $
B.$ -2x $
C.$ \frac{1}{4}x^{4} $
D.$ -\frac{1}{4}x^{4} $
答案
D
解析
完全平方公式为 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，题目中多项式为 $x^2 + 1$，需要添加一个单项式使其符合完全平方形式。
选项A：添加 $2x$，多项式变为 $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，符合。
选项B：添加 $-2x$，多项式变为 $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，符合。
选项C：添加 $\frac{1}{4}x^4$，多项式变为 $\frac{1}{4}x^4 + x^2 + 1 = \left( \frac{1}{2}x^2 + 1 \right)^2$，符合。
选项D：添加 $-\frac{1}{4}x^4$，多项式变为 $-\frac{1}{4}x^4 + x^2 + 1$，无法直接用完全平方公式分解。
选项A：添加 $2x$，多项式变为 $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，符合。
选项B：添加 $-2x$，多项式变为 $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，符合。
选项C：添加 $\frac{1}{4}x^4$，多项式变为 $\frac{1}{4}x^4 + x^2 + 1 = \left( \frac{1}{2}x^2 + 1 \right)^2$，符合。
选项D：添加 $-\frac{1}{4}x^4$，多项式变为 $-\frac{1}{4}x^4 + x^2 + 1$，无法直接用完全平方公式分解。
4. (2024·江苏常州中考) 分解因式：$ x^{2} - 4xy + 4y^{2} = $
$(x-2y)^{2}$
。答案
$(x-2y)^{2}$
解析
$x^{2}-4xy+4y^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 2y+(2y)^{2}=(x-2y)^{2}$
5. (2024·四川广元中考) 分解因式：$ (a + 1)^{2} - 4a = $
$(a - 1)^{2}$
。答案
$(a - 1)^{2}$
解析
原式 $(a + 1)^{2} - 4a$
首先展开 $(a + 1)^{2}$，得到 $a^{2} + 2a + 1$。
然后，将展开后的式子与 $-4a$ 合并，得到 $a^{2} - 2a + 1$。
观察合并后的式子，可以发现它是完全平方公式的形式，即 $(a - 1)^{2}$。
首先展开 $(a + 1)^{2}$，得到 $a^{2} + 2a + 1$。
然后，将展开后的式子与 $-4a$ 合并，得到 $a^{2} - 2a + 1$。
观察合并后的式子，可以发现它是完全平方公式的形式，即 $(a - 1)^{2}$。
6. 利用分解因式计算：
(1) $ 6.5^{2} - 13 × 3.5 + 3.5^{2} $；
(2) $ 101^{2} + 101 × 198 + 99^{2} $。
(1) $ 6.5^{2} - 13 × 3.5 + 3.5^{2} $；
(2) $ 101^{2} + 101 × 198 + 99^{2} $。
答案
(1)
$原式=6.5^{2} - 2×6.5 × 3.5 + 3.5^{2}$
$=(6.5 - 3.5)^{2}$
$=3^{2}$
$ = 9$
(2)
$原式=101^{2} + 2×101 × 99 + 99^{2}$
$=(101 + 99)^{2}$
$=200^{2}$
$ = 40000$
$原式=6.5^{2} - 2×6.5 × 3.5 + 3.5^{2}$
$=(6.5 - 3.5)^{2}$
$=3^{2}$
$ = 9$
(2)
$原式=101^{2} + 2×101 × 99 + 99^{2}$
$=(101 + 99)^{2}$
$=200^{2}$
$ = 40000$
7. 分解因式：
(1) $ m(m + 4) + 4 $；
(2) $ 9x^{2} - 24xy + 16y^{2} $；
(3) $ (m + n)^{2} - 6(m + n) + 9 $；
(4) $ 4 + 12(x - y) + 9(x - y)^{2} $。
(1) $ m(m + 4) + 4 $；
(2) $ 9x^{2} - 24xy + 16y^{2} $；
(3) $ (m + n)^{2} - 6(m + n) + 9 $；
(4) $ 4 + 12(x - y) + 9(x - y)^{2} $。
答案
(1)
$\begin{aligned}m(m + 4) + 4 &= m^{2} + 4m + 4 \\&= (m + 2)^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}9x^{2} - 24xy + 16y^{2} &= (3x)^{2} - 2×3x×4y + (4y)^{2} \\&= (3x - 4y)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(m + n)^{2} - 6(m + n) + 9 &= (m + n)^{2} - 2×(m + n)×3 + 3^{2} \\&= (m + n - 3)^{2}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}4 + 12(x - y) + 9(x - y)^{2} &= 2^{2} + 2×2×3(x - y) + [3(x - y)]^{2} \\&= (2 + 3x - 3y)^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}m(m + 4) + 4 &= m^{2} + 4m + 4 \\&= (m + 2)^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}9x^{2} - 24xy + 16y^{2} &= (3x)^{2} - 2×3x×4y + (4y)^{2} \\&= (3x - 4y)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(m + n)^{2} - 6(m + n) + 9 &= (m + n)^{2} - 2×(m + n)×3 + 3^{2} \\&= (m + n - 3)^{2}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}4 + 12(x - y) + 9(x - y)^{2} &= 2^{2} + 2×2×3(x - y) + [3(x - y)]^{2} \\&= (2 + 3x - 3y)^{2}\end{aligned}$
