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5. 如图,某计算装置有一个数据输入口 A 和一个运算结果的输出口 B,下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果,则可得该装置计算的式子是
n²+1
。(用含 $n$ 的式子表示)答案
n²+1
解析
$n^{2}+1$
6. 观察下列等式：
$4^{2} - 1^{2} = 3×5$；$5^{2} - 2^{2} = 3×7$；$6^{2} - 3^{2} = 3×9$；$7^{2} - 4^{2} = 3×11$；…。
则第 $n$($n$ 是正整数)个等式为
$4^{2} - 1^{2} = 3×5$；$5^{2} - 2^{2} = 3×7$；$6^{2} - 3^{2} = 3×9$；$7^{2} - 4^{2} = 3×11$；…。
则第 $n$($n$ 是正整数)个等式为
(n+3)²-n²=3(2n+3)
。答案
(n+3)²-n²=3(2n+3)
解析
$(n+3)^{2}-n^{2}=3(2n+3)$
7. 观察下列等式,找出规律填空：
$1 + 2 + 3 + … + 10 = \frac{(1 + 10)×10}{2} = 55$；
$1 + 2 + 3 + … + 31 = \frac{(1 + 31)×31}{2} = 496$；
$1 + 2 + 3 + … + 100 = \frac{(1 + 100)×100}{2} = 5050$；
$1 + 2 + 3 + … + n = $
$1 + 2 + 3 + … + 10 = \frac{(1 + 10)×10}{2} = 55$；
$1 + 2 + 3 + … + 31 = \frac{(1 + 31)×31}{2} = 496$；
$1 + 2 + 3 + … + 100 = \frac{(1 + 100)×100}{2} = 5050$；
$1 + 2 + 3 + … + n = $
$\frac{n(1+n)}{2}$
。答案
$\frac{n(1+n)}{2}$
8. 如图,填在各格子中的三个数之间具有相同的规律,根据此规律,$n$ 的值是(
A.48
B.56
C.63
D.74
C
)。A.48
B.56
C.63
D.74
答案
C
解析
观察每个图形中上面的数：1，3，5，均为奇数，规律为依次加2，故$m=5+2=7$。
每个图形中下面左边的数：2，4，6，均为偶数，规律为依次加2，第四个图形中下面左边的数为8。
分析下面右边的数与上面的数、下面左边的数的关系：
第一个图形：$2×1+1=3$
第二个图形：$4×3+3=15$（此处原解析规律不唯一，根据答案反推更优规律为：下面右边的数 = 下面左边的数×上面的数 + 上面的数，即$4×3 + 3=15$，$6×5 + 5=35$，验证第一个图形$2×1 + 1=3$，规律成立）
则第四个图形中$n=8× m + m=8×7 + 7=63$。
C
每个图形中下面左边的数：2，4，6，均为偶数，规律为依次加2，第四个图形中下面左边的数为8。
分析下面右边的数与上面的数、下面左边的数的关系：
第一个图形：$2×1+1=3$
第二个图形：$4×3+3=15$（此处原解析规律不唯一，根据答案反推更优规律为：下面右边的数 = 下面左边的数×上面的数 + 上面的数，即$4×3 + 3=15$，$6×5 + 5=35$，验证第一个图形$2×1 + 1=3$，规律成立）
则第四个图形中$n=8× m + m=8×7 + 7=63$。
C
9. 按照下列步骤做一做：
(1)任意写一个两位数；
(2)交换这个两位数的十位数字和个位数字,得到一个新数；
(3)求原两位数和新两位数的差。
再写几个两位数重复上面的过程,这些差有什么规律？
(1)任意写一个两位数；
(2)交换这个两位数的十位数字和个位数字,得到一个新数；
(3)求原两位数和新两位数的差。
再写几个两位数重复上面的过程,这些差有什么规律？
答案
解:
(1)24
(2)42
(3)24-42=-18 其他列举略,这些差都能被9整除。设原两位数的十位数字为b,个位数字为a,则原两位数为10b+a,交换后的两位数为10a+b,10b+a-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a=9(b-a)。(答案不唯一)
(1)24
(2)42
(3)24-42=-18 其他列举略,这些差都能被9整除。设原两位数的十位数字为b,个位数字为a,则原两位数为10b+a,交换后的两位数为10a+b,10b+a-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a=9(b-a)。(答案不唯一)
