【典型例题1】计算：
(1)$[(-3)^{2}]^{3}$；
(2)$(x^{a + 1})^{3}$；
(3)$-(x^{3})^{4}$；
(4)$(a + b)^{2}\cdot [(a + b)^{2}]^{3}$.
思路导引 依据“幂的乘方,底数不变,指数相乘”的运算法则进行计算.
【解】(1)$[(-3)^{2}]^{3}= (-3)^{2×3}= (-3)^{6}= 3^{6}$.
(2)$(x^{a + 1})^{3}= x^{(a + 1)×3}= x^{3a + 3}$.
(3)$-(x^{3})^{4}= -x^{3×4}= -x^{12}$.
(4)$(a + b)^{2}\cdot [(a + b)^{2}]^{3}= (a + b)^{2}\cdot (a + b)^{2×3}= (a + b)^{2}\cdot (a + b)^{6}= (a + b)^{2 + 6}= (a + b)^{8}$.
规律方法 运用幂的有关运算法则计算时,要注意幂的乘方和同底数幂的乘法之间的区别.若幂中含有负号,则先确定符号,再利用法则进行计算；若式子中同时含有乘方与乘法运算,则先算乘方,再算乘法.

答题卡作答：
(1)$[(-3)^{2}]^{3}$
$= (-3)^{2 × 3} $
$= (-3)^{6} $
$= 3^{6} $
(2)$(x^{a + 1})^{3}$
$= x^{(a + 1) × 3} $
$= x^{3a + 3} $
(3)$-(x^{3})^{4}$
$= -x^{3 × 4} $
$= -x^{12} $
(4)$(a + b)^{2} \cdot [(a + b)^{2}]^{3}$
$= (a + b)^{2} \cdot (a + b)^{2 × 3} $
$= (a + b)^{2} \cdot (a + b)^{6} $
$= (a + b)^{2 + 6} $
$= (a + b)^{8}$

1. 下列式子成立的是()
A. $(x^{3})^{3}= x^{6}$
B. $(7^{2})^{m}= (7^{m})^{2}$
C. $(y^{x})^{5}= y^{x + 5}$
D. $(-a)^{2}= -a^{2}$
2. 计算：(1)$(12^{5})^{2}$；(2)$[(-6)^{3}]^{4}$；
(3)$-(a^{2})^{7}$；(4)$(y^{n})^{4}$；
(5)$-[(a - b)^{3}]^{4}$；(6)$(x^{3})^{2}\cdot (x^{2})^{3}$.

1. B
2.(1)$12^{10}$；(2)$6^{12}$；(3)$-a^{14}$；(4)$y^{4n}$；(5)$-(a - b)^{12}$；(6)$x^{12}$

1.
A 选项：根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，$(x^{3})^{3}=x^{3×3}=x^9\neq x^6$，所以 A 选项错误。
B 选项：左边$(7^{2})^{m}=7^{2m}$，右边$(7^{m})^{2}=7^{2m}$，左边等于右边，所以 B 选项正确。
C 选项：根据幂的乘方运算法则，$(y^{x})^{5}=y^{5x}\neq y^{x + 5}$，所以 C 选项错误。
D 选项：$(-a)^{2}=a^{2}\neq -a^{2}$，所以 D 选项错误。
2.
(1)根据幂的乘方运算法则$(12^{5})^{2}=12^{5×2}=12^{10}$。
(2)根据幂的乘方运算法则$[(-6)^{3}]^{4}=(-6)^{3×4}=(-6)^{12}=6^{12}$。
(3)先根据幂的乘方运算法则计算$(a^{2})^{7}=a^{14}$，所以$-(a^{2})^{7}=-a^{14}$。
(4)根据幂的乘方运算法则$(y^{n})^{4}=y^{4n}$。
(5)先根据幂的乘方运算法则$[(a - b)^{3}]^{4}=(a - b)^{12}$，所以$-[(a - b)^{3}]^{4}=-(a - b)^{12}$。
(6)先分别计算$(x^{3})^{2}=x^{6}$，$(x^{2})^{3}=x^{6}$，再根据同底数幂乘法法则$x^{6}\cdot x^{6}=x^{12}$。

【典型例题2】(1)$(-3b)^{3}$；(2)$(x^{2}y)^{2}$；
(3)$(-2xy)^{4}$；(4)$(-a)^{3}$；(5)$(3a^{n})^{2}$.
思路导引 依据运算法则“$(ab)^{n}= a^{n}b^{n}$($n$为正整数)”进行计算.
【解】(1)$(-3b)^{3}= (-3)^{3}\cdot b^{3}= -27b^{3}$.
(2)$(x^{2}y)^{2}= (x^{2})^{2}\cdot y^{2}= x^{4}y^{2}$.
(3)$(-2xy)^{4}= (-2x)^{4}\cdot y^{4}= (-2)^{4}\cdot x^{4}\cdot y^{4}= 16x^{4}y^{4}$.
(4)$(-a)^{3}= (-1)^{3}\cdot a^{3}= -a^{3}$.
(5)$(3a^{n})^{2}= 3^{2}\cdot (a^{n})^{2}= 9a^{2n}$.
规律方法 1. 积的乘方法则公式中的字母$a$,$b$既可以表示数或字母,也可以表示单项式或多项式.
2. 运用积的乘方法则时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式,尤其注意不要忘记数字系数及其符号.
3. 注意运算顺序,先算积的乘方,再算幂的乘方,最后算同底数幂相乘.

(1)
$(-3b)^{3}$
$= (-3)^{3} \cdot b^{3}$
$= -27b^{3}$
(2)
$(x^{2}y)^{2}$
$= (x^{2})^{2} \cdot y^{2}$
$= x^{4}y^{2}$
(3)
$(-2xy)^{4}$
$= (-2)^{4} \cdot x^{4} \cdot y^{4}$
$= 16x^{4}y^{4}$
(4)
$(-a)^{3}$
$= (-1)^{3} \cdot a^{3}$
$= -a^{3}$
(5)
$(3a^{n})^{2}$
$= 3^{2} \cdot (a^{n})^{2}$
$= 9a^{2n}$

3. 计算：$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{3}=$()
A.$-\frac{1}{6}x^{6}y^{3}$
B.$-\frac{1}{8}x^{2}y^{3}$
C.$-\frac{1}{8}x^{6}y^{3}$
D.$-\frac{3}{2}x^{5}y^{4}$

C。

根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，以及幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{mn}$，有：
$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{3} = (-\frac{1}{2})^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot y^{3} = -\frac{1}{8} \cdot x^{6} \cdot y^{3} = -\frac{1}{8}x^{6}y^{3}$。