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【典型例题 1】某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标,经测算,若由两个工程队共同工作,则恰好 12 天能够完成；若两队共同工作 9 天后,剩下的由甲队单独完成,则还需 5 天。现要从这两个工程队中选出一队单独完成,从尽快完工的角度考虑,你认为应该选择哪个队？为什么？
思路导引 根据一项工程分几部分完成,各部分工作量之和等于总工作量,列出方程解决问题。
【解】设甲队单独完成工程需 $x$ 天,根据题意,得 $\frac{1}{12}×9+\frac{1}{x}×5 = 1$。方程两边乘 $x$,得 $\frac{3}{4}x + 5 = x$。解得 $x = 20$。
检验：$x = 20 ≠ 0$。所以 $x = 20$ 是原分式方程的解,且符合题意。
因为 $\frac{1}{12}-\frac{1}{20}= \frac{1}{30}$,所以乙队单独完成工程需 30 天。因为 $20 ＜ 30$,所以选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑,应该选择甲队。
规律方法 工程问题所涉及的数量关系为：工作总量 $=$ 工作效率 $×$ 工作时间。当工作总量给出时,按照公式列方程求解；当工作总量没有给出时,一般将工作总量记为 1,再根据题目中的等量关系列出方程求解。
思路导引 根据一项工程分几部分完成,各部分工作量之和等于总工作量,列出方程解决问题。
【解】设甲队单独完成工程需 $x$ 天,根据题意,得 $\frac{1}{12}×9+\frac{1}{x}×5 = 1$。方程两边乘 $x$,得 $\frac{3}{4}x + 5 = x$。解得 $x = 20$。
检验：$x = 20 ≠ 0$。所以 $x = 20$ 是原分式方程的解,且符合题意。
因为 $\frac{1}{12}-\frac{1}{20}= \frac{1}{30}$,所以乙队单独完成工程需 30 天。因为 $20 ＜ 30$,所以选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑,应该选择甲队。
规律方法 工程问题所涉及的数量关系为：工作总量 $=$ 工作效率 $×$ 工作时间。当工作总量给出时,按照公式列方程求解；当工作总量没有给出时,一般将工作总量记为 1,再根据题目中的等量关系列出方程求解。
答案
设甲队单独完成工程需 $x$ 天，根据题意，得 $\frac{1}{12}×9 + \frac{1}{x}×5 = 1$。
方程两边乘 $x$，得 $\frac{3}{4}x + 5 = x$。
解得 $x = 20$。
检验：$x = 20 ≠ 0$，所以 $x = 20$ 是原分式方程的解，且符合题意。
乙队工作效率为 $\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{1}{30}$，故乙队单独完成工程需 30 天。
因为 $20 ＜ 30$，所以选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队。
方程两边乘 $x$，得 $\frac{3}{4}x + 5 = x$。
解得 $x = 20$。
检验：$x = 20 ≠ 0$，所以 $x = 20$ 是原分式方程的解，且符合题意。
乙队工作效率为 $\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{1}{30}$，故乙队单独完成工程需 30 天。
因为 $20 ＜ 30$，所以选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队。
1. (2024·四川雅安中考)某市为治理污水,保护环境,需铺设一段全长为 3 000 米的污水排放管道,为了减少施工对城市交通造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加 $25\%$,结果提前 15 天完成铺设任务。
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为 300 元,所有工人的工资总金额不超过 18 万元。该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为 300 元,所有工人的工资总金额不超过 18 万元。该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
答案
(1)设原计划每天铺设管道$x$米，则实际每天铺设管道$(1 + 25\%)x = 1.25x$米。
根据题意，得$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{1.25x}=15$。
方程两边同乘$1.25x$，得$3000×1.25 - 3000=15×1.25x$，
即$3750 - 3000=18.75x$，$750=18.75x$，解得$x = 40$。
经检验，$x = 40$是原方程的解，且符合题意。
实际每天铺设：$1.25x=1.25×40 = 50$（米）。
(2)设原计划安排$y$名工人施工。
原计划完成任务时间为$\frac{3000}{40}=75$（天）。
根据题意，得$300y×75\leq180000$，
即$22500y\leq180000$，解得$y\leq8$。
(1)原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米；(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工。
根据题意，得$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{1.25x}=15$。
方程两边同乘$1.25x$，得$3000×1.25 - 3000=15×1.25x$，
即$3750 - 3000=18.75x$，$750=18.75x$，解得$x = 40$。
经检验，$x = 40$是原方程的解，且符合题意。
实际每天铺设：$1.25x=1.25×40 = 50$（米）。
(2)设原计划安排$y$名工人施工。
原计划完成任务时间为$\frac{3000}{40}=75$（天）。
根据题意，得$300y×75\leq180000$，
即$22500y\leq180000$，解得$y\leq8$。
(1)原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米；(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工。
【典型例题 2】某旅行社组织游客从 $A$ 地到 $B$ 地的航天科技馆参观,已知 $A$ 地到 $B$ 地的路程为 $300$ km,乘坐 $C$ 型车比乘坐 $D$ 型车少用 $2$ h,$C$ 型车的平均速度是 $D$ 型车平均速度的 3 倍,求 $D$ 型车的平均速度。
【解】设 $D$ 型车的平均速度是 $x$ km/h,则 $C$ 型车的平均速度是 $3x$ km/h,
根据题意,得 $\frac{300}{x}-\frac{300}{3x}= 2$,解得 $x = 100$。
经检验,$x = 100$ 是所列分式方程的解,且符合题意。
答：$D$ 型车的平均速度是 $100$ km/h。
规律方法 在行程问题中,路程、时间和速度之间的关系是路程 $=$ 速度 $×$ 时间。解这类应用题,先分析出问题中的已知量,确定待求量,再根据题意找出等量关系,从而列出方程。
【解】设 $D$ 型车的平均速度是 $x$ km/h,则 $C$ 型车的平均速度是 $3x$ km/h,
根据题意,得 $\frac{300}{x}-\frac{300}{3x}= 2$,解得 $x = 100$。
经检验,$x = 100$ 是所列分式方程的解,且符合题意。
答：$D$ 型车的平均速度是 $100$ km/h。
规律方法 在行程问题中,路程、时间和速度之间的关系是路程 $=$ 速度 $×$ 时间。解这类应用题,先分析出问题中的已知量,确定待求量,再根据题意找出等量关系,从而列出方程。
答案
答题卡作答：
设$D$型车的平均速度是$x$ km/h，则$C$型车的平均速度是$3x$ km/h。
根据题意，得：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{3x} = 2$
解这个方程，首先找公共分母，即$3x$，然后合并同类项：
$\frac{900 - 300}{3x} = 2$
$\frac{600}{3x} = 2$
$600 = 6x$
$x = 100$
经检验，$x = 100$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：$D$型车的平均速度是$100$ km/h。
设$D$型车的平均速度是$x$ km/h，则$C$型车的平均速度是$3x$ km/h。
根据题意，得：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{3x} = 2$
解这个方程，首先找公共分母，即$3x$，然后合并同类项：
$\frac{900 - 300}{3x} = 2$
$\frac{600}{3x} = 2$
$600 = 6x$
$x = 100$
经检验，$x = 100$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：$D$型车的平均速度是$100$ km/h。
