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1. 如图,一束平行于主光轴OF的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点。若∠1= 155°,∠2= 30°,则∠3为(
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
C
)A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
答案
C
解析
1. 平行于主光轴的光线AB与OF平行，∠1=155°为AB与折射光线BF的夹角，故∠ABF=155°。
2. 因AB//OF，由同旁内角互补得∠ABF+∠BFO=180°，则∠BFO=180°-155°=25°。
3. 过光心的光线OP与OF夹角∠2=∠POF=30°。
4. 在△OFP中，∠3为外角，由三角形外角定理得∠3=∠POF+∠PFO=30°+25°=55°。
2. 如图,在△ABC中,∠A= 64°,点D在AB上,将△ABC沿CD折叠,使点A落在BC边上的点E处,若∠B= 26°,则∠BDE为
38
。答案
38
解析
在△ABC中，∠A=64°，∠B=26°，由三角形内角和定理得∠ACB=180°-64°-26°=90°。
折叠后△ACD≌△ECD，故∠CED=∠A=64°。
∵点E在BC上，∴∠BEC=180°，则∠BED=180°-∠CED=180°-64°=116°。
在△BDE中，∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-26°-116°=38°。
折叠后△ACD≌△ECD，故∠CED=∠A=64°。
∵点E在BC上，∴∠BEC=180°，则∠BED=180°-∠CED=180°-64°=116°。
在△BDE中，∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-26°-116°=38°。
3. 一副三角尺摆放位置如图1所示,把三角尺AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2,即AB//OD时,∠1为
45°
。答案
45°
解析
一副三角尺中，等腰直角三角尺的底角为45°。当AB//OD时，∠ABO（45°）与∠BOD是内错角，故∠BOD=45°。另一个含30°角的直角三角尺中，∠COD=90°，所以∠1=∠COD - ∠BOD=90° - 45°=45°。
4. 如图,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上运动,点A在y轴正半轴上运动,BD是∠ABO的平分线,AD是∠CAO的平分线,BD与AD相交于点D,则∠ADB为(
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
C
)A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
答案
C
解析
设∠OAB=α，∠OBA=β，在△AOB中，∠AOB=90°，则α+β=90°。
∵BD平分∠ABO，∴∠ABD=β/2。
∵AD平分∠CAO，∠CAO=180°-α（邻补角定义），∴∠DAO=(180°-α)/2=90°-α/2。
在△ADB中，由三角形外角性质得∠DAO=∠ADB+∠ABD，即90°-α/2=∠ADB+β/2。
∴∠ADB=90°-(α+β)/2=90°-45°=45°。
∵BD平分∠ABO，∴∠ABD=β/2。
∵AD平分∠CAO，∠CAO=180°-α（邻补角定义），∴∠DAO=(180°-α)/2=90°-α/2。
在△ADB中，由三角形外角性质得∠DAO=∠ADB+∠ABD，即90°-α/2=∠ADB+β/2。
∴∠ADB=90°-(α+β)/2=90°-45°=45°。
5. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
360°
。答案
$360^\circ$
解析
根据三角形外角性质，可知：
$\angle A+\angle B=\angle 1$，
$\angle E+\angle F=\angle 2$，
$\angle C+\angle D=\angle 3$。
由于$\angle 1+\angle 2+\angle 3=360^\circ$，
所以$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F=360^\circ$。
（图示三角形外角1、2、3分别位于三个不同的顶点，将六个角分成三组，总和为$360^\circ$）。
$\angle A+\angle B=\angle 1$，
$\angle E+\angle F=\angle 2$，
$\angle C+\angle D=\angle 3$。
由于$\angle 1+\angle 2+\angle 3=360^\circ$，
所以$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F=360^\circ$。
（图示三角形外角1、2、3分别位于三个不同的顶点，将六个角分成三组，总和为$360^\circ$）。
6. 如图,点D在AB上,点E在BC上,AE,CD相交于点P。
(1)若∠A= 30°,∠B= 40°,∠APC= 110°,求∠C的度数；
(2)试猜想∠APC与∠A+∠B+∠C之间的关系,并说明理由。
(1)若∠A= 30°,∠B= 40°,∠APC= 110°,求∠C的度数；
(2)试猜想∠APC与∠A+∠B+∠C之间的关系,并说明理由。
答案
(1)
根据三角形外角性质，$\angle APC$是$\triangle APD$的外角，则$\angle APC=\angle A + \angle ADC$，已知$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle APC = 110^{\circ}$，所以$\angle ADC=\angle APC-\angle A=110^{\circ}- 30^{\circ}=80^{\circ}$。
在$\triangle BCD$中，$\angle ADC$是外角，$\angle ADC=\angle B+\angle C$，已知$\angle B = 40^{\circ}$，所以$\angle C=\angle ADC-\angle B=80^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$。
(2)
$\angle APC=\angle A+\angle B+\angle C - 180^{\circ}+180^{\circ}=\angle A+\angle B+\angle C - 180^{\circ}+\angle PEC+\angle PCE+\angle EPC$（此步多余，换下面）
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
$\angle APC$是$\triangle APD$的外角，$\angle APC=\angle A+\angle ADC$。
$\angle ADC$是$\triangle BCD$的外角，$\angle ADC=\angle B+\angle C$。
所以$\angle APC=\angle A+\angle B+\angle C$。
根据三角形外角性质，$\angle APC$是$\triangle APD$的外角，则$\angle APC=\angle A + \angle ADC$，已知$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle APC = 110^{\circ}$，所以$\angle ADC=\angle APC-\angle A=110^{\circ}- 30^{\circ}=80^{\circ}$。
在$\triangle BCD$中，$\angle ADC$是外角，$\angle ADC=\angle B+\angle C$，已知$\angle B = 40^{\circ}$，所以$\angle C=\angle ADC-\angle B=80^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$。
(2)
$\angle APC=\angle A+\angle B+\angle C - 180^{\circ}+180^{\circ}=\angle A+\angle B+\angle C - 180^{\circ}+\angle PEC+\angle PCE+\angle EPC$（此步多余，换下面）
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
$\angle APC$是$\triangle APD$的外角，$\angle APC=\angle A+\angle ADC$。
$\angle ADC$是$\triangle BCD$的外角，$\angle ADC=\angle B+\angle C$。
所以$\angle APC=\angle A+\angle B+\angle C$。
