8. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$AB = AC$,$AD平分\angle BAC$,交$BC于点D$,点$E在AD$上,连接$EB$,$EC$. 若$\angle EBC = 45^{\circ}$,$BC = 8$,则$\triangle EBC$的面积是______.

16

∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=DC=BC/2=4（等腰三角形三线合一）。
∵∠EBC=45°，∠EDB=90°，∴△EBD为等腰直角三角形，∴ED=BD=4。
∴△EBC的面积=BC×ED/2=8×4/2=16。

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为BC$上一点,$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle DAB = 45^{\circ}$,若$AB = 3$,则$CD = $.

3

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，故$\angle B=\angle C=30^{\circ}$，$\angle BAC=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$。
$\because \angle DAB=45^{\circ}$，$\therefore \angle DAC=\angle BAC-\angle DAB=120^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B-\angle DAB=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$，则$\angle ADC=180^{\circ}-\angle ADB=75^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=75^{\circ}$，$\angle ADC=75^{\circ}$，$\therefore \angle DAC=\angle ADC$，故$CD=AC$。
$\because AC=AB=3$，$\therefore CD=3$。

10. 如图,在$3×3$的小正方形网格中,网格线的交点叫格点. 已知$A$,$B$是两个格点,若点$P$也是网格中的格点,且使$\triangle ABP$是等腰三角形,那么满足条件的$P$点共有个.

8

以点$A$为顶点，$AB$为腰：$AB$长度为$\sqrt{(1)^2 + (2)^2}=\sqrt{5}$，在网格中找到到$A$距离为$\sqrt{5}$的格点，有$2$个；
以点$B$为顶点，$AB$为腰：同理，找到到$B$距离为$\sqrt{5}$的格点，有$2$个；
以$AB$为底边：作$AB$的垂直平分线，与格点相交，有$2$个；
共$2 + 2 + 2=6$个。
6

11. 如图,把一张长方形纸片$ABCD沿对角线BD$所在的直线折叠,点$C落到点C'$处,$BC'与AD相交于点E$. 若$AB = 4$,$AE = 3$,$BE = 5$,则重叠部分(阴影部分)的面积为.

10

∵ 四边形 $ABCD$ 是长方形，
∴ $AD // BC$，$\angle A = 90^\circ$，$AD = BC$，$AB = CD = 4$。
由折叠性质得：$\angle EBD = \angle CBD$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle EDB = \angle CBD$，
∴ $\angle EBD = \angle EDB$，
∴ $EB = ED$（等角对等边）。
已知 $BE = 5$，
∴ $ED = 5$。
∵ $AE = 3$，
∴ $AD = AE + ED = 3 + 5 = 8$。
阴影部分为 $\triangle BED$，以 $ED$ 为底，$AB$ 为高，
面积 $S = \frac{1}{2} × ED × AB = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$。

12. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为$D$,$BF平分\angle ABC交CD于点E$,交$AC于点F$. 求证$CE = CF$.

证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠CFB+∠CBF=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴∠DEB+∠EBD=90°．
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠EBD，
∴∠CFB=∠DEB．
∵∠DEB=∠CEF，
∴∠CFB=∠CEF，
∴CE=CF．