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8. 如图所示,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,BE 是△ABD 的边 AD 上的中线,若△ABC 的面积是 48,则△ABE 的面积是
12
。答案
12
解析
已知$AD$是$BC$边上的中线，根据三角形中线的性质，中线将三角形分成两个面积相等的部分，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
因为$BE$是$\triangle ABD$的边$AD$上的中线，同理可得$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$。
由$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$，可得$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
已知$S_{\triangle ABC} = 48$，则$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{4}×48 = 12$。
因为$BE$是$\triangle ABD$的边$AD$上的中线，同理可得$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$。
由$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$，可得$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
已知$S_{\triangle ABC} = 48$，则$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{4}×48 = 12$。
9. 如图所示,AD,CE 是△ABC 的两条高,AB = 4 cm,BC = 8 cm,CE = 6 cm,则 AD 的长为
3cm
。答案
3cm
解析
因为AD,CE是△ABC的两条高，所以S△ABC=1/2×AB×CE=1/2×BC×AD。已知AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，代入得1/2×4×6=1/2×8×AD，解得AD=3cm。
10. (2025·简阳)将一副三角板按如图所示的方式摆放,点 B,C,D 共线,∠CDF = 18°,则∠AFE 的度数为(
A.89°
B.83°
C.93°
D.103°
C
)A.89°
B.83°
C.93°
D.103°
答案
C
解析
假设左边三角板为等腰直角三角板$Rt\triangle ABC$，$\angle B=90°$，$\angle ACB=45°$；右边三角板为含$30°$角的直角三角板$Rt\triangle CDE$，$\angle ECD=30°$。
∵点$B,C,D$共线，$\angle ACB=45°$，$\angle ECD=30°$，
∴$\angle FCD=\angle ACB+\angle ECD=45°+30°=75°$。
在$\triangle FCD$中，$\angle AFE$为外角，$\angle AFE=\angle FCD+\angle CDF=75°+18°=93°$。
∵点$B,C,D$共线，$\angle ACB=45°$，$\angle ECD=30°$，
∴$\angle FCD=\angle ACB+\angle ECD=45°+30°=75°$。
在$\triangle FCD$中，$\angle AFE$为外角，$\angle AFE=\angle FCD+\angle CDF=75°+18°=93°$。
11. (2024·齐齐哈尔)将一个含 30°角的三角尺和直尺如图放置,若∠1 = 50°,则∠2 的度数是(
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
B
)A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
B
解析
因为直尺两边平行，过三角尺直角顶点作直尺边的平行线，由平行线性质得该平行线将直角分成两个角，分别与∠1和∠2相等（内错角相等）。已知∠1=50°，直角为90°，故∠2=90°-50°=40°。
12. 已知 AD 是△ABC 的高,∠BAD = 70°,∠CAD = 20°,则∠BAC 的度数为
50°或90°
。答案
50°或90°
解析
当AD在△ABC内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；当AD在△ABC外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°。
13. 如图所示,在△ABC 中,BO,CO 分别平分∠ABC,∠ACB,且相交于点 O,CE 为外角∠ACD 的平分线,BO 的延长线交 CE 于点 E. 有以下结论：①∠OCE = 90°；②∠1 = 2∠2；③∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠1；④∠BOC = 3∠2. 其中正确的是
①②③
(填序号)。答案
①②③
解析
①∵CO平分∠ACB，CE平分∠ACD，∠ACB+∠ACD=180°，∴∠OCE=∠ACO+∠ACE=1/2∠ACB+1/2∠ACD=1/2×180°=90°，①正确；②设∠ABC=2x，则∠OBC=x，∠ACD=∠1+2x（外角性质），CE平分∠ACD得∠ECD=1/2∠ACD=1/2∠1+x，∠ECD是△EBC外角，∴∠ECD=∠OBC+∠2=x+∠2，即1/2∠1+x=x+∠2，得∠1=2∠2，②正确；③∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠1)=90°+1/2∠1，③正确；④∠BOC=90°+∠2≠3∠2，④错误。
14. (2025·东坡)如图所示,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AD ⊥ BC 于点 D,BE 平分∠ABC,AD,BE 相交于点 F.
(1)若∠CAD = 36°,求∠AEF 的度数；
(2)试说明：∠AEF = ∠AFE.
(1)若∠CAD = 36°,求∠AEF 的度数；
(2)试说明：∠AEF = ∠AFE.
答案
(1)
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°．
在△ADC中，∠CAD=36°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°-∠CAD-∠ADC=180°-36°-90°=54°．
在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=54°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-54°=36°．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠ABC/2=36°/2=18°．
在△ABE中，∠BAC=90°，∠ABE=18°，
∴∠AEF=∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE=180°-90°-18°=72°．
(2)
证明：设∠ABC=2α，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=α．
在Rt△ABE中，∠BAC=90°，∴∠AEF=∠AEB=90°-∠ABE=90°-α．
∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，在Rt△BFD中，∠BFD=90°-∠CBE=90°-α．
∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠AFE=90°-α．
∴∠AEF=∠AFE．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°．
在△ADC中，∠CAD=36°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°-∠CAD-∠ADC=180°-36°-90°=54°．
在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=54°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-54°=36°．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠ABC/2=36°/2=18°．
在△ABE中，∠BAC=90°，∠ABE=18°，
∴∠AEF=∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE=180°-90°-18°=72°．
(2)
证明：设∠ABC=2α，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=α．
在Rt△ABE中，∠BAC=90°，∴∠AEF=∠AEB=90°-∠ABE=90°-α．
∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，在Rt△BFD中，∠BFD=90°-∠CBE=90°-α．
∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠AFE=90°-α．
∴∠AEF=∠AFE．
