1. 今天数学课上,老师讲了单项式乘多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记复习,发现一道题：$-3xy(4y - 2x - 1) = -12xy^{2} + 6x^{2}y + □$,$□$的地方被钢笔水弄污了,你认为$□$内应填写 ()
A.$3xy$
B.$-3xy$
C.-1
D.1

A

根据单项式乘多项式的运算法则，将$-3xy$与多项式$4y - 2x - 1$中的每一项相乘：
$-3xy × 4y = -12xy^2$，
$-3xy × (-2x) = 6x^2y$，
$-3xy × (-1) = 3xy$。
将这些结果相加，得到$-12xy^2 + 6x^2y + 3xy$，与题目中的结果对比，$□$内应填$3xy$。

2. (2024·天津)计算$(-3x)(-2x^{2} + \frac{2}{3}x - 4)$的结果是 ()
A.$-6x^{3} - 2x^{2} + 12x$
B.$6x^{3} - 2x^{2} + 12$
C.$6x^{3} + 2x^{2} - 12x$
D.$6x^{3} - 2x^{2} + 12x$

D

根据单项式乘多项式的运算法则，可将单项式分别与多项式的每一项相乘，再将所得的积相加，即：
$(-3x)(-2x^{2}+\frac{2}{3}x - 4)=(-3x)×(-2x^{2})+(-3x)×(\frac{2}{3}x)+(-3x)×(-4)=6x^{3}-2x^{2}+12x$

3. 一个三角形的一边长是$3x - 4$,这条边上的高是$2x$,则这个三角形的面积为 ()
A.$3x - 4$
B.$3x^{2} - 4$
C.$3x^{2} - 4x$
D.$6x^{2} - 8x$

C

三角形的面积公式为$\frac{1}{2} × 底边长 × 高$。
代入给定的底边长$3x - 4$和高$2x$，得：
$面积 = \frac{1}{2} × (3x - 4) × 2x$
$= \frac{1}{2} × 2x × (3x - 4)$
$= x × (3x - 4)$
$= 3x^{2} - 4x$

4. 已知单项式$M$,$N满足3x(M - 5x) = 6x^{2}y^{2} + N$,则$M \cdot N = $.

$-30x^{3}y^{2}$

根据题意，有$3x(M - 5x) = 6x^{2}y^{2} + N$，
将左边展开得到$3xM - 15x^{2} = 6x^{2}y^{2} + N$，
根据等式性质，等式两边相等，则对应项相等，
比较两边的项，可以得到：
$3xM = 6x^{2}y^{2}$，
从中解出$M$，得到$M = 2xy^{2}$，
同样，比较等式两边的常数项，有：
$-15x^{2} = N$，
所以，$N = -15x^{2}$，
最后，计算$M \cdot N$，即：
$M \cdot N = 2xy^{2} \cdot (-15x^{2}) = -30x^{3}y^{2}$。

5. 计算：
(1) $(-\frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}xy + \frac{1}{4}y^{2}) \cdot (-2xy^{2})^{2}$；
(2) $\frac{1}{2}x \cdot (-3x^{2} + 2x - 1) - \frac{1}{3}x^{2} \cdot (2x - 6x^{2})$.

(1)
首先计算$(-2xy^{2})^{2}=4x^{2}y^{4}$，
则$(-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}xy+\frac{1}{4}y^{2})\cdot(-2xy^{2})^{2}$
$=(-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}xy+\frac{1}{4}y^{2})\cdot4x^{2}y^{4}$
$=-\frac{1}{2}x^{2}\cdot4x^{2}y^{4}-\frac{3}{2}xy\cdot4x^{2}y^{4}+\frac{1}{4}y^{2}\cdot4x^{2}y^{4}$
$=-2x^{4}y^{4}-6x^{3}y^{5}+x^{2}y^{6}$
(2)
$\frac{1}{2}x\cdot(-3x^{2}+2x - 1)-\frac{1}{3}x^{2}\cdot(2x - 6x^{2})$
$=\frac{1}{2}x\cdot(-3x^{2})+\frac{1}{2}x\cdot2x-\frac{1}{2}x\cdot1-\frac{1}{3}x^{2}\cdot2x+\frac{1}{3}x^{2}\cdot6x^{2}$
$=-\frac{3}{2}x^{3}+x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}x^{3}+2x^{4}$
$=2x^{4}+(-\frac{3}{2}x^{3}-\frac{2}{3}x^{3})+x^{2}-\frac{1}{2}x$
$=2x^{4}-\frac{13}{6}x^{3}+x^{2}-\frac{1}{2}x$

6. 先化简,再求值：$3a(2a^{2} - 4a + 3) - 2a^{2}(3a + 4)$,其中$a = -2$.

$-98$

化简过程：
$\begin{aligned}&3a(2a^{2} - 4a + 3) - 2a^{2}(3a + 4)\\=&3a \cdot 2a^{2} + 3a \cdot (-4a) + 3a \cdot 3 - [2a^{2} \cdot 3a + 2a^{2} \cdot 4]\\=&6a^{3} - 12a^{2} + 9a - (6a^{3} + 8a^{2})\\=&6a^{3} - 12a^{2} + 9a - 6a^{3} - 8a^{2}\\=&(6a^{3} - 6a^{3}) + (-12a^{2} - 8a^{2}) + 9a\\=&-20a^{2} + 9a\end{aligned}$
代入求值：
当 $a = -2$ 时，
$\begin{aligned}&-20×(-2)^{2} + 9×(-2)\\=&-20×4 - 18\\=&-80 - 18\\=&-98\end{aligned}$

7. 已知$xy^{2} = -2$,则$-xy(x^{2}y^{5} - xy^{3} - y)$的值为 ()
A.2
B.6
C.10
D.14

C

原式$=-xy\cdot x^{2}y^{5}+(-xy)\cdot (-xy^{3})+(-xy)\cdot (-y)=-x^{3}y^{6}+x^{2}y^{4}+xy^{2}$，
因为$xy^{2}=-2$，所以$x^{3}y^{6}=(xy^{2})^{3}=(-2)^{3}=-8$，$x^{2}y^{4}=(xy^{2})^{2}=(-2)^{2}=4$，
则原式$=-(-8)+4+(-2)=8+4-2=10$

8. 若$(x^{2} + ax + 1) \cdot (-6x^{3})的展开式中不含x^{4}$项,则$3a - 2024$的值为.

$-2024$（或填写计算结果对应的选项，如果以数值形式直接给出答案则为$-2024$）。

首先，根据单项式乘多项式的运算法则，将$(x^{2} + ax + 1) \cdot (-6x^{3})$展开，得到：
$(x^{2} + ax + 1) \cdot (-6x^{3}) = -6x^{5} - 6ax^{4} - 6x^{3}$，
由题目条件知，展开式中不含$x^{4}$项，即$-6ax^{4}$的系数为0，所以有：
$-6a = 0$，
解得：
$a = 0$，
将$a = 0$代入$3a - 2024$，得到：
$3a - 2024 = 3 × 0 - 2024 = -2024$。

9. 先化简,再求值：$(-\frac{1}{3}xy)^{2} \cdot [xy(2x - y) - 2x(xy - y^{2})]$,其中$x = -1\frac{1}{2}$,$y = -2$.

化简过程：
1. 计算$(-\frac{1}{3}xy)^2$：
$ (-\frac{1}{3}xy)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 x^2 y^2 = \frac{1}{9}x^2 y^2 $
2. 化简中括号内表达式$xy(2x - y) - 2x(xy - y^2)$：
展开$xy(2x - y)$：
$ xy \cdot 2x - xy \cdot y = 2x^2 y - xy^2 $
展开$-2x(xy - y^2)$：
$ -2x \cdot xy + (-2x) \cdot (-y^2) = -2x^2 y + 2xy^2 $
合并同类项：
$ (2x^2 y - xy^2) + (-2x^2 y + 2xy^2) = (2x^2 y - 2x^2 y) + (-xy^2 + 2xy^2) = xy^2 $
3. 相乘化简后的两部分：
$ \frac{1}{9}x^2 y^2 \cdot xy^2 = \frac{1}{9}x^{2+1} y^{2+2} = \frac{1}{9}x^3 y^4 $
代入求值：
当$x = -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$，$y = -2$时：
$\frac{1}{9}x^3 y^4 = \frac{1}{9} \left(-\frac{3}{2}\right)^3 (-2)^4$
计算$\left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8}$，$(-2)^4 = 16$：
$\frac{1}{9} × \left(-\frac{27}{8}\right) × 16 = \frac{1}{9} × (-27) × 2 = -3 × 2 = -6$
最终结果：$-6$

10. (整体思想)已知$x(x - m) + n(x + m) = x^{2} + 5x - 6$,求$2m(mn^{2} - 1) + n(m^{2}n + 2)$的值.

1. 展开左边式子：$x(x - m) + n(x + m) = x^{2} - mx + nx + mn = x^{2} + (n - m)x + mn$。
2. 对比等式两边系数：由$x^{2} + (n - m)x + mn = x^{2} + 5x - 6$，得$\begin{cases}n - m = 5 \\ mn = -6\end{cases}$。
3. 化简所求代数式：$2m(mn^{2} - 1) + n(m^{2}n + 2) = 2m^{2}n^{2} - 2m + m^{2}n^{2} + 2n = 3m^{2}n^{2} + 2(n - m)$。
4. 代入值计算：$m^{2}n^{2}=(mn)^{2}=(-6)^{2}=36$，$n - m = 5$，则原式$=3×36 + 2×5=108 + 10=118$。
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