【例2】如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AD 平分∠BAC,AD 交 BC 于点 D,若 AB = 10,S△ABD = 15,求 CD 的长.

3

过点D作DE⊥AB于点E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵S△ABD=15，AB=10，
∴S△ABD=1/2×AB×DE=1/2×10×DE=15，
解得DE=3。
∴CD=DE=3。

4. (2025·余姚)如图所示,△ABC 中,点 D 在 BC 边上,∠BAD = 100°,∠ABC 的平分线交 AC 于点 E,过点 E 作 EF ⊥ AB,垂足为 F,且∠AEF = 50°,连接 DE.
(1)求证：AE 平分∠FAD.
(2)求证：DE 平分∠ADC.
(3)若 AB = 7,AD = 4,CD = 8,S△ACD = 15,求△ABE 的面积.

(3) 35/4

(1) 证明：∵EF⊥AB，∴∠AFE=90°。在Rt△AEF中，∠AEF=50°，∴∠FAE=90°-∠AEF=40°。∵∠BAD=100°，F在BA延长线上，∴∠FAD=180°-∠BAD=80°。∴∠DAE=∠FAD-∠FAE=80°-40°=40°。∴∠FAE=∠DAE，即AE平分∠FAD。
(2) 证明：过E作EG⊥BC于G，EH⊥AD于H。∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG（角平分线性质）。∵AE平分∠FAD，EF⊥AB，EH⊥AD，∴EF=EH（角平分线性质）。∴EH=EG。∵EH⊥AD，EG⊥CD，∴点E在∠ADC平分线上（角平分线判定）。∴DE平分∠ADC。
(3) 解：设EF=EH=EG=h。∵S△ACD=S△AED+S△CED，AD=4，CD=8，∴S△AED=1/2×4×h=2h，S△CED=1/2×8×h=4h。∴6h=15，解得h=5/2。∴S△ABE=1/2×AB×EF=1/2×7×5/2=35/4。

1. 到三角形三边的距离相等的点是()
A.三角形三条高所在直线的交点
B.三角形三条中线的交点
C.三角形三条角平分线的交点
D.不存在这个点

C

根据角的平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上。三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等，此点为三角形的内心。

2. 如图所示,AB // CD,点 P 到 AB,BC,CD 的距离都相等,则∠P 的度数为()

A.120°
B.90°
C.75°
D.60°

B

过点$P$作$PE \perp AB$，交$AB$于点$E$，作$PF \perp BC$，交$BC$于点$F$，作$PG \perp CD$，交$CD$于点$G$。
因为点$P$到$AB$，$BC$，$CD$的距离都相等，所以$PE = PF = PG$。
由于$PE\perp AB$，$PF\perp BC$，且$PE = PF$，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知点$P$在$\angle ABC$的平分线上，即$BP$平分$\angle ABC$。
同理，因为$PF\perp BC$，$PG\perp CD$，且$PF = PG$，所以点$P$在$\angle DCB$的平分线上，即$CP$平分$\angle DCB$。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle ABC+\angle DCB = 180^{\circ}$。
设$\angle ABC = 2x$，$\angle DCB = 2y$，则$2x + 2y=180^{\circ}$，化简可得$x + y = 90^{\circ}$。
在$\triangle BPC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle P=180^{\circ}-(x + y)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}$。

3. 如图所示,在 CD 上作一点 P,使它到边 OA,OB 的距离相等,则点 P 是()

A.线段 CD 的中点
B.线段 CD 与过点 O 作 CD 的垂线的交点
C.线段 CD 与∠AOB 的平分线的交点
D.以上均不正确

C

根据角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
要使点$P$到边$OA$，$OB$的距离相等，则点$P$应在$\angle AOB$的平分线上，所以点$P$是线段$CD$与$\angle AOB$的平分线的交点。

4. 如图所示,在△ABC 中,∠C = 90°,DE ⊥ AB 于点 E,CD = DE,∠CBD = 26°,则∠A 的度数为()

A.34°
B.36°
C.38°
D.40°

C

∵∠C=90°，DE⊥AB，CD=DE，∴BD平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。∵∠CBD=26°，∴∠ABC=2∠CBD=52°。在△ABC中，∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-90°-52°=38°。

5. 如图所示,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于点 P,PD ⊥ AC 于点 D,PH ⊥ BA,交 BA 的延长线于点 H.
(1)若 PH = 8 cm,求点 P 到直线 BC 的距离；
(2)求证：点 P 在∠HAC 的平分线上.

(1) 过点P作PM⊥BC于点M。
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PM⊥BC，
∴PM=PH=8cm。
答：点P到直线BC的距离为8cm。
(2) 过点P作PM⊥BC于点M。
∵PC平分△ABC的外角∠ACE（BC延长线为CE），PD⊥AC，PM⊥CE，
∴PD=PM。
由(1)知PM=PH，
∴PD=PH。
∵PH⊥AH，PD⊥AC，
∴点P到∠HAC两边的距离相等。
∴点P在∠HAC的平分线上。