在如图15.3-9所示的三角形中,若AB= AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④

D

对于各三角形，已知AB=AC，即∠B=∠C，顶角为图中标注角∠A，底角∠B=∠C=(180°-∠A)/2，结合等腰三角形性质及内角和定理分析：
①∠A=36°，底角∠B=∠C=72°。作∠B的平分线交AC于D，则∠ABD=∠CBD=36°。△ABD中，∠A=∠ABD=36°，故AD=BD；△CBD中，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，故BD=BC。可分成两个等腰三角形。
②∠A=45°，底角∠B=∠C=67.5°。无论从顶角或底角作直线，均无法使分割后的两个三角形满足等腰三角形“等角对等边”条件，不能分成两个小等腰三角形。
③∠A=90°，底角∠B=∠C=45°。作底边BC上的高AD，由等腰直角三角形性质，AD=BD=CD，故△ABD和△ACD均为等腰直角三角形。
④∠A=108°，底角∠B=∠C=36°。从∠B作直线BD交AC于D，使∠ABD=36°，则∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∠DBC=∠B-∠ABD=0°（修正：作∠BAD=36°，则∠CAD=72°，△ABD中AD=BD，△ACD中∠CAD=∠CDA=72°，AC=CD），可分成两个等腰三角形。
综上，①③④符合。

1. 在△ABC中,
(1)若∠B= ∠C,AB= 5,则AC= ；
(2)若∠B= 50°,∠C= 65°,则∠A的度数为.
(3)若∠A∶∠B∶∠C= 1∶1∶2,则△ABC的形状为.

(1)5；
(2)65°；
(3)等腰直角三角形。

(1) 在△ABC 中，因为 ∠B = ∠C，根据等腰三角形的性质，等角对等边，所以 AB = AC，已知 AB = 5，所以 AC = 5。
(2) 在△ABC 中，根据三角形内角和为 180°，已知 ∠B = 50°，∠C = 65°，则 ∠A = 180° - 50° - 65° = 65°。
(3) 设 ∠A、∠B、∠C 的度数分别为 x、x、2x，根据三角形内角和为 180°，可得 x + x + 2x = 180°，解得 x = 45°，所以 ∠A = 45°，∠B = 45°，∠C = 90°，所以△ABC 是等腰直角三角形。

2. 如图,四边形ABCD中,AD//BC,BC= 5,∠BAD的平分线AE交BC于点E,CE= 2,则线段AB的长为.

3

由于$AD// BC$，根据平行线的性质，得$\angle DAE=\angle AEB$。
又因为$AE$是$\angle BAD$的平分线，所以$\angle DAE=\angle BAE$。
由此可得$\angle BAE=\angle AEB$，根据等腰三角形的性质，得$AB = BE$。
已知$BC=5$，$CE=2$，所以$BE=BC - CE = 5 - 2 = 3$。
因此，$AB = BE = 3$。

3. 如图,在平面直角坐标系中,分别平行于x轴、y轴的两直线a,b相交于点A(3,4),连接OA,OA= 5. 若直线a上存在一点P,使△AOP是以AO为腰的等腰三角形,则满足条件的点P的坐标是.

(8,4)、(-2,4)、(-3,4)

∵直线a平行于x轴且过点A(3,4)，∴直线a的方程为y=4，设P(x,4)。OA=5，△AOP以AO为腰分两种情况：
1. AO=AP：A(3,4)，P(x,4)，AP=|x-3|=5，解得x=8或x=-2，∴P(8,4)或(-2,4)；
2. AO=OP：O(0,0)，P(x,4)，OP=√(x²+4²)=5，解得x=±3。x=3时P与A重合（舍去），x=-3，∴P(-3,4)。
综上，P的坐标为(8,4)、(-2,4)、(-3,4)。

4. 如图,下列条件中,不能推出△ABC是等腰三角形的是()

A.∠B= ∠C
B.AD⊥BC,∠BAD= ∠CAD
C.AD⊥BC,∠BAD= ∠ACD
D.AD⊥BC,BD= CD

C

A. 若$\angle B=\angle C$，根据等腰三角形的定义（两个底角相等的三角形是等腰三角形），可以得出$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
B. 若$AD \perp BC$，且$\angle BAD = \angle CAD$，根据等腰三角形的三线合一性质（即等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合），可知$\triangle ABC$是等腰三角形，此时$AB = AC$。
C. $AD \perp BC$，$\angle BAD=\angle ACD$，仅由这两个条件，无法得出$AB = AC$或$AB = BC$或$AC = BC$，所以不能推出$\triangle ABC$是等腰三角形。
D. 若$AD\perp BC$，且$BD = CD$，根据线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等），可以得出$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。