登录
12.(7分)定义一种新运算$(a,b)$,若$a^{c}=b$,则$(a,b)=c$,如$(2,8)=3$,$(3,81)=4$.若$(3,5)+(3,7)=(3,x)$,求$x$的值.
答案
设$(3,5) = m$，$(3,7) = n$，
根据新运算的定义，有：
$3^{m} = 5$，
$3^{n} = 7$，
根据同底数幂的乘法法则，有：
$3^{m+n} = 3^{m} × 3^{n}$，
代入$3^{m} = 5$和$3^{n} = 7$，得到：
$3^{m+n} = 5 × 7 = 35$，
由题意知，$(3,5) + (3,7) = (3,x)$，即：
$m + n = (3,x)$，
根据新运算的定义，有：
$3^{m+n} = x$，
代入$3^{m+n} = 35$，得到：
$x = 35$。
根据新运算的定义，有：
$3^{m} = 5$，
$3^{n} = 7$，
根据同底数幂的乘法法则，有：
$3^{m+n} = 3^{m} × 3^{n}$，
代入$3^{m} = 5$和$3^{n} = 7$，得到：
$3^{m+n} = 5 × 7 = 35$，
由题意知，$(3,5) + (3,7) = (3,x)$，即：
$m + n = (3,x)$，
根据新运算的定义，有：
$3^{m+n} = x$，
代入$3^{m+n} = 35$，得到：
$x = 35$。
13.(9分)阅读下面的材料:
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解:因为$4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$,且$3＞2$,所以$3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小.
材料二:比较$2^{8}$和$8^{2}$的大小.
解:因为$8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$,且$8＞6$,所以$2^{8}＞2^{6}$,即$2^{8}＞8^{2}$.
小结:底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小.
解决下列问题:
(1)比较$3^{44}$,$4^{33}$,$6^{22}$的大小.
(2)比较$81^{31}$,$27^{41}$,$9^{61}$的大小.
(3)比较$4^{12}× 5^{10}$与$4^{10}× 5^{12}$的大小.
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解:因为$4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$,且$3＞2$,所以$3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小.
材料二:比较$2^{8}$和$8^{2}$的大小.
解:因为$8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$,且$8＞6$,所以$2^{8}＞2^{6}$,即$2^{8}＞8^{2}$.
小结:底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小.
解决下列问题:
(1)比较$3^{44}$,$4^{33}$,$6^{22}$的大小.
(2)比较$81^{31}$,$27^{41}$,$9^{61}$的大小.
(3)比较$4^{12}× 5^{10}$与$4^{10}× 5^{12}$的大小.
答案
(1)
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，$6^{22}=(6^2)^{11}=36^{11}$。
因为$81＞64＞36$，所以$81^{11}＞64^{11}＞36^{11}$，即$3^{44}＞4^{33}＞6^{22}$。
(2)
$81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$。
因为$124＞123＞122$，所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3)
$4^{12}×5^{10}=4^{10}×4^2×5^{10}=(4×5)^{10}×16=20^{10}×16$，
$4^{10}×5^{12}=4^{10}×5^{10}×5^2=(4×5)^{10}×25=20^{10}×25$。
因为$16＜25$，所以$20^{10}×16＜20^{10}×25$，即$4^{12}×5^{10}＜4^{10}×5^{12}$。
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，$6^{22}=(6^2)^{11}=36^{11}$。
因为$81＞64＞36$，所以$81^{11}＞64^{11}＞36^{11}$，即$3^{44}＞4^{33}＞6^{22}$。
(2)
$81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$。
因为$124＞123＞122$，所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3)
$4^{12}×5^{10}=4^{10}×4^2×5^{10}=(4×5)^{10}×16=20^{10}×16$，
$4^{10}×5^{12}=4^{10}×5^{10}×5^2=(4×5)^{10}×25=20^{10}×25$。
因为$16＜25$，所以$20^{10}×16＜20^{10}×25$，即$4^{12}×5^{10}＜4^{10}×5^{12}$。
14.(7分)已知$x^{2n}=2$,求$(2x^{3n})^{2}-(3x^{n})^{2}$的值.
答案
14
解析
$(2x^{3n})^{2}-(3x^{n})^{2}$
$=4x^{6n}-9x^{2n}$
$=4(x^{2n})^{3}-9x^{2n}$
因为$x^{2n}=2$，所以原式$=4×2^{3}-9×2$
$=4×8 - 18$
$=32 - 18$
$=14$
$=4x^{6n}-9x^{2n}$
$=4(x^{2n})^{3}-9x^{2n}$
因为$x^{2n}=2$，所以原式$=4×2^{3}-9×2$
$=4×8 - 18$
$=32 - 18$
$=14$
