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11. 求下列各式的值：
（1）$ \sin 45^{\circ} · \cos 45^{\circ} + \tan 60^{\circ} · \sin 60^{\circ} $；
（2）$ \sin 30^{\circ} - \tan^{2} 45^{\circ} + \dfrac{3}{4} \tan^{2} 30^{\circ} - \cos 60^{\circ} $.
（1）$ \sin 45^{\circ} · \cos 45^{\circ} + \tan 60^{\circ} · \sin 60^{\circ} $；
（2）$ \sin 30^{\circ} - \tan^{2} 45^{\circ} + \dfrac{3}{4} \tan^{2} 30^{\circ} - \cos 60^{\circ} $.
答案
11. (1)2 (2)$ -\dfrac{3}{4} $
解析
（1）$\sin 45^{\circ} · \cos 45^{\circ} + \tan 60^{\circ} · \sin 60^{\circ}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} × \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=\dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{2}$
$=\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}$
$=2$
（2）$\sin 30^{\circ} - \tan^{2} 45^{\circ} + \dfrac{3}{4} \tan^{2} 30^{\circ} - \cos 60^{\circ}$
$=\dfrac{1}{2} - 1^{2} + \dfrac{3}{4} × (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2} - \dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{1}{2} - 1 + \dfrac{3}{4} × \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{1}{2} - 1 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{3}{4}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} × \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=\dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{2}$
$=\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}$
$=2$
（2）$\sin 30^{\circ} - \tan^{2} 45^{\circ} + \dfrac{3}{4} \tan^{2} 30^{\circ} - \cos 60^{\circ}$
$=\dfrac{1}{2} - 1^{2} + \dfrac{3}{4} × (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2} - \dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{1}{2} - 1 + \dfrac{3}{4} × \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{1}{2} - 1 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{3}{4}$
12. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = \sqrt{2} $，$ BC = \sqrt{6} $，解这个直角三角形.
答案
12. $ A B=2 \sqrt{2}, ∠ A=60^{\circ}, ∠ B=30^{\circ} $.
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{6}$。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}}=\sqrt{2 + 6}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，所以$∠ A=60^{\circ}$。
因为$∠ A + ∠ B=90^{\circ}$，所以$∠ B=90^{\circ}-∠ A=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
综上，$AB=2\sqrt{2}$，$∠ A=60^{\circ}$，$∠ B=30^{\circ}$。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}}=\sqrt{2 + 6}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，所以$∠ A=60^{\circ}$。
因为$∠ A + ∠ B=90^{\circ}$，所以$∠ B=90^{\circ}-∠ A=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
综上，$AB=2\sqrt{2}$，$∠ A=60^{\circ}$，$∠ B=30^{\circ}$。
13. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ B = ∠ D = 90^{\circ} $，$ AB = 3 $，$ BC = 2 $，$ \tan A = \dfrac{4}{3} $，求 $ CD $ 的值.
答案
13. $ C D=\dfrac{6}{5} $
解析
解：连接AC。
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2，
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=3²+2²=13，故AC=$\sqrt{13}$。
在Rt△ADC中，∠D=90°，tanA=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{4}{3}$，设CD=4k，AD=3k（k＞0）。
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，即(3k)²+(4k)²=13，
解得k²=$\frac{13}{25}$，k=$\frac{\sqrt{13}}{5}$（负值舍去）。
则CD=4k=4×$\frac{\sqrt{13}}{5}$=$\frac{4\sqrt{13}}{5}$。
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在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2，
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=3²+2²=13，故AC=$\sqrt{13}$。
在Rt△ADC中，∠D=90°，tanA=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{4}{3}$，设CD=4k，AD=3k（k＞0）。
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，即(3k)²+(4k)²=13，
解得k²=$\frac{13}{25}$，k=$\frac{\sqrt{13}}{5}$（负值舍去）。
则CD=4k=4×$\frac{\sqrt{13}}{5}$=$\frac{4\sqrt{13}}{5}$。
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14. 随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡 $ AB $ 的坡角为 $ 20^{\circ} $，水平线 $ AC = 12 \, \mathrm{m} $，$ CD ⊥ AC $，$ CD = 1.5 \, \mathrm{m} $.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾的车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米.（结果精确到 $ 0.1 \, \mathrm{m} $，参考数据：$ \sin 20^{\circ} \approx 0.34 $，$ \cos 20^{\circ} \approx 0.94 $，$ \tan 20^{\circ} \approx 0.36 $）
答案
14. 限制高度约为 2.6 米
解析
解：过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ AB $ 于点 $ E $，则 $ CE $ 为限制高度。
在 $ \mathrm{Rt}△ ACE $ 中，$ ∠ CAE = 20° $，$ AC = 12 \, \mathrm{m} $，
$\sin 20° = \frac{CE}{AC}$，
$ CE = AC · \sin 20° \approx 12 × 0.34 = 4.08 \, \mathrm{m}$。
又因为 $ CD = 1.5 \, \mathrm{m} $，且 $ CD ⊥ AC $，$ CE ⊥ AB $，
所以限制高度为 $ CE - CD = 4.08 - 1.5 = 2.58 \approx 2.6 \, \mathrm{m}$。
答：限制高度约为 $ 2.6 $ 米。
在 $ \mathrm{Rt}△ ACE $ 中，$ ∠ CAE = 20° $，$ AC = 12 \, \mathrm{m} $，
$\sin 20° = \frac{CE}{AC}$，
$ CE = AC · \sin 20° \approx 12 × 0.34 = 4.08 \, \mathrm{m}$。
又因为 $ CD = 1.5 \, \mathrm{m} $，且 $ CD ⊥ AC $，$ CE ⊥ AB $，
所以限制高度为 $ CE - CD = 4.08 - 1.5 = 2.58 \approx 2.6 \, \mathrm{m}$。
答：限制高度约为 $ 2.6 $ 米。
15. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ \tan A = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $，$ ∠ ABC $ 的平分线 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ D $，$ CD = \sqrt{3} $，求 $ AB $ 的长.
答案
15. 6
解析
解：在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$\tan A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠A=30^{\circ}$，则$∠ABC=60^{\circ}$。
$∵BD$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠CBD=\dfrac{1}{2}∠ABC=30^{\circ}$。
在$Rt△BCD$中，$CD=\sqrt{3}$，$∠CBD=30^{\circ}$，
$\tan∠CBD=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，即$\dfrac{\sqrt{3}}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore BC=3$。
在$Rt△ABC$中，$∠A=30^{\circ}$，
$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore AB=2BC=6$。
$\therefore ∠A=30^{\circ}$，则$∠ABC=60^{\circ}$。
$∵BD$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠CBD=\dfrac{1}{2}∠ABC=30^{\circ}$。
在$Rt△BCD$中，$CD=\sqrt{3}$，$∠CBD=30^{\circ}$，
$\tan∠CBD=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，即$\dfrac{\sqrt{3}}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore BC=3$。
在$Rt△ABC$中，$∠A=30^{\circ}$，
$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore AB=2BC=6$。
