21. （8 分）如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$CD$ 切 $\odot O$ 于点 $C$，$BE⊥ CD$ 于点 $E$，连接 $AC$，$BC$.
（1）求证：$BC$ 平分 $∠ ABE$；
（2）若 $\odot O$ 的半径为 3，$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}$，求 $CE$ 的长.

21. (1)略 (2)$\dfrac{2}{3}\sqrt{14}$

（1）证明：连接 $OC$。
∵ $CD$ 切 $\odot O$ 于点 $C$，
∴ $OC ⊥ CD$。
∵ $BE ⊥ CD$，
∴ $OC // BE$，
∴ $∠ OCB = ∠ CBE$。
∵ $OC = OB$，
∴ $∠ OCB = ∠ OBC$，
∴ $∠ OBC = ∠ CBE$，
即 $BC$ 平分 $∠ ABE$。
（2）解：
∵ $\odot O$ 半径为 $3$，
∴ $AB = 6$。
∵ $AB$ 是直径，
∴ $∠ ACB = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴ $AC = AB · \cos A = 6 × \frac{\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}$。
∴ $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
∵ $∠ A + ∠ ABC = 90°$，$∠ CBE + ∠ BCE = 90°$，且 $∠ ABC = ∠ CBE$，
∴ $∠ A = ∠ BCE$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，$\cos ∠ BCE = \frac{CE}{BC} = \cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴ $CE = BC · \frac{\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{7} × \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{14}}{3}$。
答案：（1）见证明过程；（2）$\frac{2\sqrt{14}}{3}$

22. （10 分）如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$P$ 为 $△ ABC$ 内部一点，且 $∠ APB = ∠ BPC = 135^{\circ}$.
（1）求证：$△ PAB∽△ PBC$；
（2）求证：$PA = 2PC$；
（3）若点 $P$ 到三角形的边 $AB$，$BC$，$CA$ 的距离分别为 $h_1$，$h_2$，$h_3$，求证：$h_1^2 = h_2· h_3$.

（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，故$∠ABC=45^{\circ}$。
在$△ APB$中，$∠APB=135^{\circ}$，则$∠PAB + ∠PBA=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。
又$∠ABC=∠PBA + ∠PBC=45^{\circ}$，故$∠PAB=∠PBC$。
因为$∠APB=∠BPC=135^{\circ}$，所以$△ PAB∽△ PBC$（AA）。
（2）由（1）知$△ PAB∽△ PBC$，则$\frac{PA}{PB}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{BC}$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{2}BC$，故$\frac{AB}{BC}=\sqrt{2}$。
设$PC=x$，则$PB=\sqrt{2}x$，$PA=\sqrt{2}PB=\sqrt{2}·\sqrt{2}x=2x$，即$PA=2PC$。
（3）设$AC=BC=a$，$AB=\sqrt{2}a$，$PC=m$，则$PA=2m$，$PB=\sqrt{2}m$。
$△ PBC$面积：$\frac{1}{2}BC· h_2=\frac{1}{2}a h_2$，且$\frac{1}{2}PC· PB·\sin135^{\circ}=\frac{1}{2}m·\sqrt{2}m·\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}m^2$，故$a h_2=m^2$ ①。
$△ PAC$中，$∠APC=360^{\circ}-135^{\circ}-135^{\circ}=90^{\circ}$，面积：$\frac{1}{2}AC· h_3=\frac{1}{2}a h_3=\frac{1}{2}·2m· m=m^2$，故$a h_3=2m^2$ ②。
由①②得$h_3=2h_2$。
$△ PAB$面积：$\frac{1}{2}AB· h_1=\frac{1}{2}·\sqrt{2}a h_1=\frac{1}{2}·2m·\sqrt{2}m·\frac{\sqrt{2}}{2}=m^2$，结合①得$\sqrt{2}a h_1=2m^2=2a h_2$，故$h_1=\sqrt{2}h_2$。
则$h_1^2=(\sqrt{2}h_2)^2=2h_2^2$，$h_2· h_3=h_2·2h_2=2h_2^2$，故$h_1^2=h_2· h_3$。