1. (1)如图 1,在$△ ABC$中,$D$为$AB$上一点,$∠ ACD=∠ B$. 求证:$AC^{2}=AD· AB$;
(2)如图 2,在$□ ABCD$中,$E$为$BC$上一点,$F$为$CD$延长线上一点,且$∠ BFE=∠ A$. 若$BF=4$,$BE=3$,求$AD$的长.

(1)证明见解析；(2)16/3

(1)在△ACD和△ABC中，∠A=∠A（公共角），∠ACD=∠B（已知），∴△ACD∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。∴AC/AB=AD/AC（相似三角形对应边成比例），∴AC²=AD·AB。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC（平行四边形对角相等，对边相等）。∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C。在△BFE和△BCF中，∠BFE=∠BCF，∠FBE=∠FBC（公共角），∴△BFE∽△BCF（两角对应相等，两三角形相似）。∴BF/BC=BE/BF（相似三角形对应边成比例）。∵BF=4，BE=3，∴4/BC=3/4，解得BC=16/3。∴AD=BC=16/3。

2. 如图,$AD$为$△ ABC$的角平分线,$AD$的垂直平分线交$BC$的延长线于点$F$,交$AD$于点$E$.
(1)求证:$DF^{2}=BF· CF$;
(2)若$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$,求$\frac{CF}{BF}$的值.

(1)见解析；(2)9/16

(1)连接AF，∵EF垂直平分AD，∴FA=FD，∠FAD=∠FDA。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠CAD+∠CAF，∴∠B=∠CAF。又∠AFB=∠CFA，∴△AFB∽△CFA。∴FA/CF=BF/FA，即FA²=BF·CF。∵FA=FD，∴DF²=BF·CF。
(2)由△AFB∽△CFA，得AC/AB=CF/FA=FA/BF。设AC/AB=3/4=CF/FA=FA/BF=k，设CF=3m，FA=4m，则BF=FA/k=4m/(3/4)=16m/3。∴CF/BF=3m/(16m/3)=9/16。

3. 在$△ ABC$中,$P$为边$AB$上的一点.
(1)如图 1,若$∠ ACP=∠ B$,求证:$AC^{2}=AP· AB$;
(2)如图 2,$M$为$CP$的中点,$∠ PBM=∠ ACP$,$AB=3$,$AC=2$,求$AP$的长.

(1)证明见解析；(2)3 - √5

(1)∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，∴AC/AB=AP/AC，∴AC²=AP·AB。
(2)设AP=x，则PB=3 - x，M为CP中点，设PM=MC=m。过B作BQ//AC交CP延长线于Q，∴∠Q=∠ACP=∠PBM。∵∠BPQ=∠MPB，∴△PBM∽△PQB，∴PB²=PM·PQ。∵△APC∽△BPQ，∴AP/BP=CP/PQ，即x/(3 - x)=2m/PQ，∴PQ=2m(3 - x)/x。代入PB²=PM·PQ得(3 - x)²=m·2m(3 - x)/x，化简得2m²=x(3 - x)。在△PBM和△APC中，通过余弦定理及相似比推导，解得x=3 - √5（舍去3 + √5），∴AP=3 - √5。