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1. (2023·梁溪区月考)如图是一个长方体柜子的俯视图,柜子长$AB = CD = m$(不计柜门厚度),当柜门打开的角度为$α$时,柜门打开的距离$EF$为 (
A.$m\sinα$
B.$m\cosα$
C.$\frac{m}{\sinα}$
D.$\frac{m}{\cosα}$
A
)A.$m\sinα$
B.$m\cosα$
C.$\frac{m}{\sinα}$
D.$\frac{m}{\cosα}$
答案
1.A
解析
解：在直角三角形$AEF$中，$∠ EAF = α$，$AF = AB = m$，$∠ AFE = 90°$。
$\sinα=\frac{EF}{AF}$
$EF = AF·\sinα = m\sinα$
A
$\sinα=\frac{EF}{AF}$
$EF = AF·\sinα = m\sinα$
A
2. (2024·南通二模)图①为放在水平地面上的落地式话筒架实物图,图②为其示意图,支撑杆$AB$垂直于地面$l$,活动杆$CD$固定在支撑杆上的点$E$处,若$∠ AED = 48^{\circ}$,$BE = 110$cm,$DE = 80$cm,则活动杆端点$D$离地面的高度$DF =$
164
cm.(结果精确到1cm,参考数据:$\sin48^{\circ}\approx0.74$,$\cos48^{\circ}\approx0.67$,$\tan48^{\circ}\approx1.11$)答案
2.164
解析
解：过点$E$作$EG ⊥ DF$于点$G$，则四边形$E B F G$为矩形，$EG = BF$，$GF = BE = 110\,\mathrm{cm}$。
因为$AB ⊥ l$，$DF ⊥ l$，所以$AB // DF$，$∠ DEG=∠ AED = 48°$。
在$\mathrm{Rt}△ DEG$中，$\sin∠ DEG=\frac{DG}{DE}$，则$DG=DE·\sin48°\approx80×0.74 = 59.2\,\mathrm{cm}$。
所以$DF=DG + GF=59.2+110 = 169.2\approx169\,\mathrm{cm}$。
1
因为$AB ⊥ l$，$DF ⊥ l$，所以$AB // DF$，$∠ DEG=∠ AED = 48°$。
在$\mathrm{Rt}△ DEG$中，$\sin∠ DEG=\frac{DG}{DE}$，则$DG=DE·\sin48°\approx80×0.74 = 59.2\,\mathrm{cm}$。
所以$DF=DG + GF=59.2+110 = 169.2\approx169\,\mathrm{cm}$。
1
3. (2023·广西)如图,焊接一个钢架,包括底角为$37^{\circ}$的等腰三角形外框和3m高的支柱,则共需钢材约
21
m.(结果取整数,参考数据:$\sin37^{\circ}\approx0.60$,$\cos37^{\circ}\approx0.80$,$\tan37^{\circ}\approx0.75$)答案
3.21
解析
解：在等腰三角形$ABC$中，$AC = BC$，$CD⊥ AB$，$CD = 3\space m$，$∠ A=37^{\circ}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin37^{\circ}=\frac{CD}{AC}$，则$AC=\frac{CD}{\sin37^{\circ}}\approx\frac{3}{0.60}=5\space m$。
$\tan37^{\circ}=\frac{CD}{AD}$，则$AD=\frac{CD}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{3}{0.75}=4\space m$。
因为$AB = 2AD$，所以$AB=2×4 = 8\space m$。
所需钢材长度为$AC + BC+AB + CD=5 + 5+8 + 3=21\space m$。
21
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin37^{\circ}=\frac{CD}{AC}$，则$AC=\frac{CD}{\sin37^{\circ}}\approx\frac{3}{0.60}=5\space m$。
$\tan37^{\circ}=\frac{CD}{AD}$，则$AD=\frac{CD}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{3}{0.75}=4\space m$。
因为$AB = 2AD$，所以$AB=2×4 = 8\space m$。
所需钢材长度为$AC + BC+AB + CD=5 + 5+8 + 3=21\space m$。
21
4. (2023·青海)为了方便观测动物的活动情况,某湿地公园要铺设一段道路.如图,计划从$A$,$C$两处分别向$B$处铺设,现测得$AB = 1000$m,$∠ BAC = 30^{\circ}$,$∠ ABC = 136^{\circ}$,求$B$,$C$两点间的距离.(结果取整数,参考数据:$\sin14^{\circ}\approx0.24$,$\cos14^{\circ}\approx0.97$,$\tan14^{\circ}\approx0.25$)
答案
4.解:如答图，过点B作BD⊥AC,垂足为D.
∵∠BAC=30°,∠ABC=136°,
∴∠C=180°−∠BAC−∠ABC=14°.
在Rt△ABD中,AB=1000m,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=500m,
在Rt△BDC中,BC=$\frac{BD}{\sin14°}$≈$\frac{500}{0.24}$≈2083(m).
答:B,C两点间的距离约为2083m.
5. 如图,一架梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为$α$时,梯子顶端靠在墙面上的点$A$处,底端落在水平地面的点$B$处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为$β$,已知$\sinα=\cosβ=\frac{3}{5}$,则梯子顶端上升了 (
A.1米
B.1.5米
C.2米
D.2.5米
C
)A.1米
B.1.5米
C.2米
D.2.5米
答案
5.C
解析
解：设梯子顶端上升前距离地面高度为$h_1$，上升后高度为$h_2$。
在初始位置，梯子与地面夹角为$α$，梯子长10米，$\sinα = \frac{3}{5}$，则$h_1 = 10\sinα = 10×\frac{3}{5} = 6$米。
移动后，梯子与地面夹角为$β$，$\cosβ = \frac{3}{5}$，则$\sinβ = \sqrt{1 - \cos^2β} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$，所以$h_2 = 10\sinβ = 10×\frac{4}{5} = 8$米。
顶端上升高度为$h_2 - h_1 = 8 - 6 = 2$米。
答案：C
在初始位置，梯子与地面夹角为$α$，梯子长10米，$\sinα = \frac{3}{5}$，则$h_1 = 10\sinα = 10×\frac{3}{5} = 6$米。
移动后，梯子与地面夹角为$β$，$\cosβ = \frac{3}{5}$，则$\sinβ = \sqrt{1 - \cos^2β} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$，所以$h_2 = 10\sinβ = 10×\frac{4}{5} = 8$米。
顶端上升高度为$h_2 - h_1 = 8 - 6 = 2$米。
答案：C
