10. 半径为 3 的圆,若半径增加 $ x $,则圆增加的面积 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是.

10. $S=π x^{2}+6π x$

$S=π x^{2}+6π x$

11. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = (m^{2} - m)x^{2} + (m - 1)x + 2 - 2m $.
(1)若该函数是二次函数,则 $ m $ 的取值范围为;
(2)若该函数是一次函数,则 $ m $ 的值为.

11. (1) $m≠0$ 且 $m≠1$ (2) 0

(1) 若函数是二次函数，则二次项系数不为0，即 $m^2 - m ≠ 0$，解得 $m(m - 1) ≠ 0$，所以 $m ≠ 0$ 且 $m ≠ 1$。
(2) 若函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，即 $\begin{cases}m^2 - m = 0 \\ m - 1 ≠ 0\end{cases}$，由 $m^2 - m = 0$ 得 $m(m - 1) = 0$，所以 $m = 0$ 或 $m = 1$，又因为 $m - 1 ≠ 0$，所以 $m ≠ 1$，故 $m = 0$。

12. 如图,正方形 $ EFGH $ 的顶点均在边长为 2 的正方形 $ ABCD $ 的边上.若设 $ AE = x $,正方形 $ EFGH $ 的面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为, $ x $ 的取值范围为.

12. $y=2x^{2}-4x+4$ $0＜x＜2$

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是边长为 2 的正方形，$AE = x$，
∴ $BE = AB - AE = 2 - x$。
∵ 四边形 $EFGH$ 是正方形，
∴ $EH = EF$，$∠ HEF = 90°$，
∴ $∠ AEH + ∠ BEF = 90°$。
∵ $∠ A = 90°$，
∴ $∠ AEH + ∠ AHE = 90°$，
∴ $∠ AHE = ∠ BEF$。
在 $△ AEH$ 和 $△ BFE$ 中，
$\begin{cases} ∠ A = ∠ B = 90° \\∠ AHE = ∠ BEF \\EH = FE \end{cases}$，
∴ $△ AEH ≌ △ BFE$（AAS），
∴ $BF = AE = x$，$AH = BE = 2 - x$。
在 $\mathrm{Rt}△ AEH$ 中，$EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (2 - x)^2$，
∴ 正方形 $EFGH$ 的面积 $y = EH^2 = x^2 + (2 - x)^2 = 2x^2 - 4x + 4$。
∵ 点 $E$ 在边 $AB$ 上且不与端点重合，
∴ $x$ 的取值范围为 $0 ＜ x ＜ 2$。
$y = 2x^2 - 4x + 4$；$0 ＜ x ＜ 2$

13. 如图,$ C $ 是 $ \odot O $ 的优弧 $ ACB $ 的中点,弦 $ AB = 6 \, \mathrm{cm} $,$ E $ 为 $ OC $ 上任意一点,动点 $ F $ 从点 $ A $ 出发,以 $ 1 \, \mathrm{cm/s} $ 的速度沿 $ AB $ 方向向点 $ B $ 匀速运动,若 $ y = AE^{2} - EF^{2} $,则 $ y $ 与动点 $ F $ 的运动时间 $ x(0 ≤ x ≤ 6) $ 秒的函数表达式为.

13. $y=-x^{2}+6x$

解：连接 $OE$，设 $OC$ 与 $AB$ 交于点 $D$。
因为 $C$ 是优弧 $ACB$ 的中点，所以 $OC ⊥ AB$，$AD = DB = \frac{AB}{2} = 3\ \mathrm{cm}$。
设 $OD = a$，$DE = b$，则 $OE = a - b$（$E$ 在 $OC$ 上）。
动点 $F$ 运动 $x$ 秒，$AF = x\ \mathrm{cm}$，则 $FD = |3 - x|\ \mathrm{cm}$。
在 $Rt△ ADE$ 中：$AE^2 = AD^2 + DE^2 = 3^2 + b^2 = 9 + b^2$。
在 $Rt△ FDE$ 中：$EF^2 = FD^2 + DE^2 = (3 - x)^2 + b^2$。
则 $y = AE^2 - EF^2 = (9 + b^2) - [(3 - x)^2 + b^2] = 9 - (9 - 6x + x^2) = -x^2 + 6x$。
故函数表达式为 $y = -x^2 + 6x$。

14. (2024·秦都区一模)已知函数 $ y = -(m + 2)x^{m^{2} - 2} $($ m $ 为常数),求当 $ m $ 为何值时,$ y $ 是 $ x $ 的二次函数? 并求出此时纵坐标为 $ - 8 $ 的点的坐标.

14. 解：由 $y=-(m+2)x^{m^{2}-2}$ (m 为常数) 是二次函数，得
$\begin{cases}m^{2}-2=2,\\m+2≠0,\end{cases}$ 解得 $m=2$，则 $y=-4x^{2}$。
当 $y=-8$ 时，$-8=-4x^{2}$，解得 $x=\pm\sqrt{2}$，
故纵坐标为 $-8$ 的点的坐标为 $(\sqrt{2},-8)$ 或 $(-\sqrt{2},-8)$。

15. 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是 $ 2:1 $.已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元,边框的价格是每米 30 元,另外制作这面镜子还需加工费 45 元.设制作这面镜子的总费用是 $ y $ 元,镜子的宽度是 $ x $ 米.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(2)如果制作这面镜子共花了 195 元,求这面镜子的长和宽.

15. 解：(1) $y=(2x+2x+x+x)×30+45+2x^{2}×120=240x^{2}+180x+45$。
(2) 由题意，得 $240x^{2}+180x+45=195$，
整理，得 $8x^{2}+6x-5=0$，即 $(2x-1)(4x+5)=0$，
解得 $x_{1}=0.5$，$x_{2}=-1.25$ (舍去)，
$\therefore x=0.5$，$2x=1$。
答：这面镜子的长和宽分别是 1 米和 0.5 米。

16. 如图,一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 m),用长为 24 m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,设花圃的一边 $ AB $ 的长为 $ x(\mathrm{m}) $,面积为 $ y(\mathrm{m}^{2}) $.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式及自变量 $ x $ 的取值范围;
(2)若要围成的花圃的面积为 $ 45 \, \mathrm{m}^{2} $,则 $ AB $ 的长应为多少米?

16. 解：(1) 由题意，得 $y=x(24-3x)=-3x^{2}+24x$，
$\because24-3x≤10$，$3x＜24$，解得 $x≥\frac{14}{3}$ 且 $x＜8$，
$\therefore\frac{14}{3}≤ x＜8$，即 y 与 x 之间的函数表达式是 $y=-3x^{2}+24x(\frac{14}{3}≤ x＜8)$。
(2) 当 $y=45$ 时，$45=-3x^{2}+24x$，解得 $x_{1}=3$ (舍去)，$x_{2}=5$。
答：AB 的长应为 5 m。