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典例 把下列各式分解因式：
(1)$4a^2 - \frac{1}{9}b^2$；
(2)$x^4 - 4y^2$；
(3)$-9(x+y)^2 + (x-y)^2$。
规律方法 运用平方差公式进行因式分解时，应先把多项式化成“平方差”的形式，以便明确哪项是公式中的$a$，哪项是公式中的$b$。
典例解析
(1)$4a^2 - \frac{1}{9}b^2$；
(2)$x^4 - 4y^2$；
(3)$-9(x+y)^2 + (x-y)^2$。
规律方法 运用平方差公式进行因式分解时，应先把多项式化成“平方差”的形式，以便明确哪项是公式中的$a$，哪项是公式中的$b$。
典例解析
答案
1. 解 (1) $4a^2 - \frac{1}{9}b^2$
$=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b).$
2. (2) $x^4 - 4y^2 = (x^2)^2 - (2y)^2$
$=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y).$
3. (3)$-9(x + y)^2 + (x - y)^2$
$=(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
$=[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
$=-(4x + 2y)(2x + 4y)$
$=-4(2x + y)(x + 2y).$
$=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b).$
2. (2) $x^4 - 4y^2 = (x^2)^2 - (2y)^2$
$=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y).$
3. (3)$-9(x + y)^2 + (x - y)^2$
$=(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
$=[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
$=-(4x + 2y)(2x + 4y)$
$=-4(2x + y)(x + 2y).$
解析
【分析】
这三道因式分解题均适用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$求解，解题思路如下：1. 先观察多项式是否为两项、两项符号相反且均为平方形式，若不符合先调整形式（如第(3)题先交换两项位置，把正项放前面）；2. 将两项分别改写为某个式子的平方，确定公式中对应的$a$和$b$；3. 代入平方差公式展开；4. 合并同类项，检查是否有公因式可提，确保结果分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 先将两项改写为平方形式：
$4a^2 - \frac{1}{9}b^2=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
代入平方差公式得：
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) 同理改写为平方形式：
$x^4 - 4y^2=(x^2)^2 - (2y)^2$
代入平方差公式得：
$=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$（有理数范围内无法继续分解）
(3) 先调整项的顺序，将正项放在前面：
$-9(x+y)^2 + (x-y)^2=(x-y)^2 - 9(x+y)^2$
改写为平方形式得：
$=(x-y)^2 - [3(x+y)]^2$
代入平方差公式：
$=[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
分别展开合并两个括号内的项：
第一个括号：$x-y+3x+3y=4x+2y$
第二个括号：$x-y-3x-3y=-2x-4y$
即原式$=(4x+2y)(-2x-4y)=-(4x+2y)(2x+4y)$
提取两个括号内的公因式2：
$=-[2(2x+y)][2(x+2y)]=-4(2x+y)(x+2y)$
【答案】
(1)$(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2)$(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3)$-4(2x + y)(x + 2y)$
【知识点】
平方差公式因式分解，提公因式法，合并同类项
【点评】
本题是运用平方差公式分解因式的基础题型，核心是要准确将多项式转化为“平方差”的标准形式，明确公式中a、b对应的代数式，运算时注意符号处理，最终结果要分解到最简，避免出现因式还可提取公因式的情况。
【难度系数】
0.7
这三道因式分解题均适用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$求解，解题思路如下：1. 先观察多项式是否为两项、两项符号相反且均为平方形式，若不符合先调整形式（如第(3)题先交换两项位置，把正项放前面）；2. 将两项分别改写为某个式子的平方，确定公式中对应的$a$和$b$；3. 代入平方差公式展开；4. 合并同类项，检查是否有公因式可提，确保结果分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 先将两项改写为平方形式：
$4a^2 - \frac{1}{9}b^2=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
代入平方差公式得：
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) 同理改写为平方形式：
$x^4 - 4y^2=(x^2)^2 - (2y)^2$
代入平方差公式得：
$=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$（有理数范围内无法继续分解）
(3) 先调整项的顺序，将正项放在前面：
$-9(x+y)^2 + (x-y)^2=(x-y)^2 - 9(x+y)^2$
改写为平方形式得：
$=(x-y)^2 - [3(x+y)]^2$
代入平方差公式：
$=[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
分别展开合并两个括号内的项：
第一个括号：$x-y+3x+3y=4x+2y$
第二个括号：$x-y-3x-3y=-2x-4y$
即原式$=(4x+2y)(-2x-4y)=-(4x+2y)(2x+4y)$
提取两个括号内的公因式2：
$=-[2(2x+y)][2(x+2y)]=-4(2x+y)(x+2y)$
【答案】
(1)$(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2)$(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3)$-4(2x + y)(x + 2y)$
【知识点】
平方差公式因式分解，提公因式法，合并同类项
【点评】
本题是运用平方差公式分解因式的基础题型，核心是要准确将多项式转化为“平方差”的标准形式，明确公式中a、b对应的代数式，运算时注意符号处理，最终结果要分解到最简，避免出现因式还可提取公因式的情况。
【难度系数】
0.7
典例
解 (1) $4a^2 - \frac{1}{9}b^2$
$=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b).$
(2) $x^4 - 4y^2 = (x^2)^2 - (2y)^2$
解 (1) $4a^2 - \frac{1}{9}b^2$
$=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b).$
(2) $x^4 - 4y^2 = (x^2)^2 - (2y)^2$
答案
2. $=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y).$
3. (3)$-9(x + y)^2 + (x - y)^2$
$=(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
$=[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
$=-(4x + 2y)(2x + 4y)$
$=-4(2x + y)(x + 2y).$
3. (3)$-9(x + y)^2 + (x - y)^2$
$=(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
$=[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
$=-(4x + 2y)(2x + 4y)$
$=-4(2x + y)(x + 2y).$
解析
【分析】
这组题目均考查利用平方差公式因式分解，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。第一步先将原式变形为两个整式平方相减的形式，准确找到对应公式里的$a$和$b$；第二步套用平方差公式展开；第三步检查展开后的式子是否能继续化简，合并同类项，如有公因式要提取公因式，确保最终结果是最简的整式乘积形式，因式分解要彻底。
【解析】
(1) 对$4a^2 - \frac{1}{9}b^2$因式分解：
先将原式转化为平方差形式：$4a^2 - \frac{1}{9}b^2=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
套用平方差公式，其中$a=2a$，$b=\frac{1}{3}b$，得：
$(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) 对$x^4 - 4y^2$因式分解：
先转化为平方差形式：$x^4 - 4y^2=(x^2)^2 - (2y)^2$
套用平方差公式，其中$a=x^2$，$b=2y$，得：
$(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3) 对$-9(x + y)^2 + (x - y)^2$因式分解：
第一步调整式子顺序，将正的平方项放前面：$(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
转化为平方差形式：$(x - y)^2 - [3(x + y)]^2$，其中$a=x-y$，$b=3(x+y)$
套用平方差公式得：$[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$x - y + 3x + 3y = 4x + 2y$
第二个括号：$x - y - 3x - 3y = -2x - 4y$
原式变为$(4x + 2y)(-2x - 4y) = -(4x + 2y)(2x + 4y)$
提取公因式：$4x+2y=2(2x+y)$，$2x+4y=2(x+2y)$，代入得：
$-2(2x+y) × 2(x+2y) = -4(2x + y)(x + 2y)$
【答案】
(1) $(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) $(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3) $-4(2x + y)(x + 2y)$
【知识点】
平方差公式因式分解、提公因式法因式分解、整式化简
【点评】
本组题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别平方项是解题的前提，套用公式后要注意合并同类项、提取公因式，保证因式分解彻底，结果为最简整式乘积形式。
【难度系数】
0.75
这组题目均考查利用平方差公式因式分解，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。第一步先将原式变形为两个整式平方相减的形式，准确找到对应公式里的$a$和$b$；第二步套用平方差公式展开；第三步检查展开后的式子是否能继续化简，合并同类项，如有公因式要提取公因式，确保最终结果是最简的整式乘积形式，因式分解要彻底。
【解析】
(1) 对$4a^2 - \frac{1}{9}b^2$因式分解：
先将原式转化为平方差形式：$4a^2 - \frac{1}{9}b^2=(2a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$
套用平方差公式，其中$a=2a$，$b=\frac{1}{3}b$，得：
$(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) 对$x^4 - 4y^2$因式分解：
先转化为平方差形式：$x^4 - 4y^2=(x^2)^2 - (2y)^2$
套用平方差公式，其中$a=x^2$，$b=2y$，得：
$(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3) 对$-9(x + y)^2 + (x - y)^2$因式分解：
第一步调整式子顺序，将正的平方项放前面：$(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
转化为平方差形式：$(x - y)^2 - [3(x + y)]^2$，其中$a=x-y$，$b=3(x+y)$
套用平方差公式得：$[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$x - y + 3x + 3y = 4x + 2y$
第二个括号：$x - y - 3x - 3y = -2x - 4y$
原式变为$(4x + 2y)(-2x - 4y) = -(4x + 2y)(2x + 4y)$
提取公因式：$4x+2y=2(2x+y)$，$2x+4y=2(x+2y)$，代入得：
$-2(2x+y) × 2(x+2y) = -4(2x + y)(x + 2y)$
【答案】
(1) $(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2) $(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$
(3) $-4(2x + y)(x + 2y)$
【知识点】
平方差公式因式分解、提公因式法因式分解、整式化简
【点评】
本组题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别平方项是解题的前提，套用公式后要注意合并同类项、提取公因式，保证因式分解彻底，结果为最简整式乘积形式。
【难度系数】
0.75
举一反三 把下列各式分解因式：
(1)$16 - x^2$；
(2)$(a - b)^2 - 1$；
(3)$(2x + y)^2 - (x + 2y)^2$.
$=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$.
(3)$-9(x + y)^2 + (x - y)^2$
$=(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
$=[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
$=-(4x + 2y)(2x + 4y)$
$=-4(2x + y)(x + 2y)$.
(1)$16 - x^2$；
(2)$(a - b)^2 - 1$；
(3)$(2x + y)^2 - (x + 2y)^2$.
$=(x^2 + 2y)(x^2 - 2y)$.
(3)$-9(x + y)^2 + (x - y)^2$
$=(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
$=[(x - y) + 3(x + y)][(x - y) - 3(x + y)]$
$=-(4x + 2y)(2x + 4y)$
$=-4(2x + y)(x + 2y)$.
答案
1. 解 (1)$16 - x^2$
$=4^2 - x^2$
$=(4 + x)(4 - x).$
2. (2)$(a - b)^2 - 1$
$=[(a - b) + 1][(a - b) - 1]$
$=(a - b + 1)(a - b - 1).$
3. (3)$(2x + y)^2 - (x + 2y)^2$
$=(2x + y + x + 2y)(2x + y - x - 2y)$
$=(3x + 3y)(x - y)$
$=3(x + y)(x - y).$
$=4^2 - x^2$
$=(4 + x)(4 - x).$
2. (2)$(a - b)^2 - 1$
$=[(a - b) + 1][(a - b) - 1]$
$=(a - b + 1)(a - b - 1).$
3. (3)$(2x + y)^2 - (x + 2y)^2$
$=(2x + y + x + 2y)(2x + y - x - 2y)$
$=(3x + 3y)(x - y)$
$=3(x + y)(x - y).$
解析
【分析】
这三道题均为两项式的因式分解，且两项都可写成平方形式、符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，解题思路如下：
1. 先确定每道题中对应平方差公式里的$a$和$b$：
(1)题中$16=4^2$，即$a=4$，$b=x$；
(2)题把$(a-b)$看作整体，$1=1^2$，即$a=(a-b)$，$b=1$；
(3)题把$(2x+y)$和$(x+2y)$分别看作整体，即$a=2x+y$，$b=x+2y$。
2. 代入平方差公式展开后，合并同类项，若有公因式需提取公因式，保证分解彻底。
【解析】
(1) $16 - x^2$
$=4^2 - x^2$
$=(4 + x)(4 - x)$
(2) $(a - b)^2 - 1$
$=[(a - b) + 1][(a - b) - 1]$
$=(a - b + 1)(a - b - 1)$
(3) $(2x + y)^2 - (x + 2y)^2$
$=(2x + y + x + 2y)(2x + y - x - 2y)$
$=(3x + 3y)(x - y)$
$=3(x + y)(x - y)$
【答案】
(1) $\boxed{(4+x)(4-x)}$
(2) $\boxed{(a-b+1)(a-b-1)}$
(3) $\boxed{3(x+y)(x-y)}$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 提公因式法
3. 整体代换思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要注意灵活运用整体思想定位公式中的对应项，分解后需检查结果是否分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
这三道题均为两项式的因式分解，且两项都可写成平方形式、符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，解题思路如下：
1. 先确定每道题中对应平方差公式里的$a$和$b$：
(1)题中$16=4^2$，即$a=4$，$b=x$；
(2)题把$(a-b)$看作整体，$1=1^2$，即$a=(a-b)$，$b=1$；
(3)题把$(2x+y)$和$(x+2y)$分别看作整体，即$a=2x+y$，$b=x+2y$。
2. 代入平方差公式展开后，合并同类项，若有公因式需提取公因式，保证分解彻底。
【解析】
(1) $16 - x^2$
$=4^2 - x^2$
$=(4 + x)(4 - x)$
(2) $(a - b)^2 - 1$
$=[(a - b) + 1][(a - b) - 1]$
$=(a - b + 1)(a - b - 1)$
(3) $(2x + y)^2 - (x + 2y)^2$
$=(2x + y + x + 2y)(2x + y - x - 2y)$
$=(3x + 3y)(x - y)$
$=3(x + y)(x - y)$
【答案】
(1) $\boxed{(4+x)(4-x)}$
(2) $\boxed{(a-b+1)(a-b-1)}$
(3) $\boxed{3(x+y)(x-y)}$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 提公因式法
3. 整体代换思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要注意灵活运用整体思想定位公式中的对应项，分解后需检查结果是否分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
