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2. 阅读与探索。
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古人是如何计算面积的？
我国古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。
如三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高），也就是用三角形底的一半乘三角形的高。我国数学家刘徽在注文中还用“以盈补虚”的方法（如图1）加以说明。书中还记载了直角梯形的面积计算方法。如图2是一个直角梯形，要计算它的面积有两种方法：一是半高乘上底和下底之和（如图3），二是先把上底和下底相加，再折半，最后乘高（如图4）。
[探索]已知一个直角梯形上底是10厘米，下底是22厘米，高是8厘米。
（1）如果用图3的方法，拼成的长方形的长是（
（2）如果用图4的方法，拼成的长方形的长是（
（3）这个直角梯形的面积是（
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古人是如何计算面积的？
我国古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。
如三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高），也就是用三角形底的一半乘三角形的高。我国数学家刘徽在注文中还用“以盈补虚”的方法（如图1）加以说明。书中还记载了直角梯形的面积计算方法。如图2是一个直角梯形，要计算它的面积有两种方法：一是半高乘上底和下底之和（如图3），二是先把上底和下底相加，再折半，最后乘高（如图4）。
[探索]已知一个直角梯形上底是10厘米，下底是22厘米，高是8厘米。
（1）如果用图3的方法，拼成的长方形的长是（
32
）厘米，宽是（4
）厘米。（2）如果用图4的方法，拼成的长方形的长是（
16
）厘米，宽是（8
）厘米。（3）这个直角梯形的面积是（
128
）平方厘米。答案
2.（1） 32 4 （2） 16 8 （3） 128
3. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，割裂分家万事非。”在研究有关数的问题的时候，常常想到用画图的策略来帮助分析和研究，从而验证发现的规律。
（1）算一算，比一比。（填“＞”“＜”或“=”）
$5^2 - 3^2 ◯ (5+3)×(5-3)$
$12^2 - 8^2 ◯ (12+8)×(12-8)$
（2）你能再写一组这样的算式吗？
（3）为了验证刚才的猜想，王亮在边长为$a$的正方形纸片上剪去一个边长为$b(a＞b)$的小正方形，可以怎样求剩余部分的面积呢？王亮想出两种不同的方法（如图）。
两种方法都表示剪去后剩余的面积，请用含有字母的等式表示发现的规律。
（4）请用发现的规律，简便计算 $50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + 46^2 - 45^2 + \dots + 2^2 - 1^2$。
（1）算一算，比一比。（填“＞”“＜”或“=”）
$5^2 - 3^2 ◯ (5+3)×(5-3)$
$12^2 - 8^2 ◯ (12+8)×(12-8)$
（2）你能再写一组这样的算式吗？
（3）为了验证刚才的猜想，王亮在边长为$a$的正方形纸片上剪去一个边长为$b(a＞b)$的小正方形，可以怎样求剩余部分的面积呢？王亮想出两种不同的方法（如图）。
两种方法都表示剪去后剩余的面积，请用含有字母的等式表示发现的规律。
（4）请用发现的规律，简便计算 $50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + 46^2 - 45^2 + \dots + 2^2 - 1^2$。
答案
（1） = = （2） 答案不唯一，如$20^2-15^2=(20+15)×(20-15) （3） a+b a-b a^2-b^2=(a+b)×(a-b) （4） 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + 46^2 - 45^2 + \dots + 2^2 - 1^2 = (50^2 - 49^2) + (48^2 - 47^2) + (46^2 - 45^2) + \dots + (2^2 - 1^2) = (50+49)×(50-49) + (48+47)×(48-47) + (46+45)×(46-45) + \dots + (2+1)×(2-1) = (50+49)×1 + (48+47)×1 + (46+45)×1 + \dots + (2+1)×1 = (50+49) + (48+47) + (46+45) + \dots + (2+1) = 50+49+48+47+46+45+ \dots + 2+1 = (50+1)×(50÷2) = 51×25 = 1275$
