▲7.已知直线$y=(1-2m)x+m-1$,不论$m$取什么值,该直线必定经过 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

7.D

【分析】
要判断直线不论m取何值必定经过的象限，我们可以先找到直线恒过的定点，再结合不同参数取值下直线的走向判断共同经过的象限：首先将解析式整理为含参数m的形式，令m的系数为0即可求出定点坐标，再根据一次函数k（斜率）、b（截距）的正负分类讨论直线经过的象限，确认所有情况都包含的象限即可。也可以通过代入两个不同的m值得到具体直线，找公共经过的象限再验证，这种方法对八年级学生更简便。
【解析】
方法一：定点法
将直线解析式变形：
$y=(1-2m)x + m -1 = x -1 + m(1-2x)$
因为直线经过的点和m取值无关，所以m的系数为0，即：
$1-2x=0$，解得$x=\frac{1}{2}$
把$x=\frac{1}{2}$代入解析式得：$y=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
即直线恒过定点$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，该点在第四象限。
再分类验证所有情况：
1. 当$k=1-2m＞0$（$m＜\frac{1}{2}$）时，截距$b=m-1＜0$，直线过第一、三、四象限；
2. 当$k=1-2m=0$（$m=\frac{1}{2}$）时，直线为$y=-\frac{1}{2}$，过第三、四象限；
3. 当$k=1-2m＜0$（$m＞\frac{1}{2}$）时：
$m＞1$时，$b=m-1＞0$，直线过第一、二、四象限；
$m=1$时，$b=0$，直线过第二、四象限；
$\frac{1}{2}＜m＜1$时，$b＜0$，直线过第二、三、四象限。
所有情况中直线均经过第四象限。
方法二：特殊值法
取$m=0$，得直线$y=x-1$，过第一、三、四象限；
取$m=1$，得直线$y=-x$，过第二、四象限；
两条直线公共经过的象限为第四象限，验证其他m值的情况，均经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数定点问题
【点评】
本题是一次函数的典型考法，核心是抓住“与参数无关”的特点找到定点，再结合k、b的正负判断直线经过的象限，用特殊值法解题会更高效。
【难度系数】
0.7

8.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(0,6)$,将$△ OAB$沿 x 轴向左平移得到$△ O'A'B'$,点 A 的对应点$A'$落在直线$y=-\dfrac{3}{4}x$上,则点 B 到其对应点$B'$的距离为。

8.8

【分析】
解题时先结合平移的性质分析：沿x轴向左平移时，图形上所有点的纵坐标不变，且各对应点平移的距离相等，因此点B到B'的距离等于点A到A'的距离。接下来先利用点A的坐标得到A'的纵坐标，再将纵坐标代入一次函数解析式求出A'的横坐标，即可计算出平移的距离，也就是B到B'的距离。
【解析】
解：
∵将△OAB沿x轴向左平移得到△O'A'B'，点A的坐标为(0,6)，
∴点A'的纵坐标与点A相同，即$y_{A'}=6$，且点B到其对应点B'的距离等于平移的距离，等于A到A'的水平距离。
∵点A'落在直线$y=-\dfrac{3}{4}x$上，
将$y=6$代入解析式得：$6=-\dfrac{3}{4}x$，
解得：$x=-8$，即点A'的坐标为$(-8,6)$。
∴△OAB沿x轴向左平移了$|0 - (-8)|=8$个单位长度，
∴点B到其对应点B'的距离为8。
【答案】
8
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.平移的性质
3.坐标与图形变化
【点评】
本题结合一次函数与平移的性质进行考查，解题的核心是抓住平移前后点的纵坐标不变、对应点平移距离相等这两个关键特征，代入计算即可得解，难度不大。
【难度系数】
0.7

9. 如图，一次函数$y=(m+1)x+\frac{3}{2}$的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且$△ OAB$的面积为$\frac{3}{4}$。
(1)求m的值及点A的坐标。
▲(2)过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且$OP=3OA$，求直线BP的函数表达式。

9.(1)当$x=0$时,$y=(m+1)x+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$,则$B(0,\dfrac{3}{2})$,
∴$OB=\dfrac{3}{2}$,
∵$△OAB$的面积为$\dfrac{3}{4}$,
∴$\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{3}{4}$,解得$OA=1$.
∴$A(-1,0)$. 把点$A(-1,0)$代入$y=(m+1)x+\dfrac{3}{2}$,得$-m-1+\dfrac{3}{2}=0$,
∴$m=\dfrac{1}{2}$
(2)
∵$OP=3OA$,
∴$OP=3$,
∴点$P$的坐标为$(3,0)$.
设直线$BP$的函数表达式为$y=kx+b$,
把$P(3,0),B(0,\dfrac{3}{2})$代入得$\begin{cases}3k+b=0,\\b=\dfrac{3}{2},\end{cases}$解得$k=-\dfrac{1}{2},b=\dfrac{3}{2}$.
∴直线$BP$的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$

【分析】
（1）求解第一问时，首先可根据一次函数解析式求出与y轴交点B的坐标，得到OB的长度；再结合△OAB的面积，利用三角形面积公式算出OA的长度，结合A在x轴负半轴的位置特征得到A点坐标；最后将A点坐标代入一次函数解析式，解关于m的方程即可得到m的值。
（2）求解第二问时，先根据OP=3OA的条件算出OP的长度，结合P在x轴正半轴得到P点坐标；再使用待定系数法，设直线BP的解析式为y=kx+b，将B、P两点坐标代入得到二元一次方程组，解出k、b的值即可得到直线BP的函数表达式。
【解析】
(1) 当$x=0$时，代入$y=(m+1)x+\dfrac{3}{2}$得$y=\dfrac{3}{2}$，则$B(0,\dfrac{3}{2})$，因此$OB=\dfrac{3}{2}$。
已知$△ OAB$的面积为$\dfrac{3}{4}$，根据三角形面积公式可得：$\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{3}{4}$，代入$OB=\dfrac{3}{2}$解得$OA=1$。
因为点A在x轴负半轴，所以A点坐标为$(-1,0)$。
将$A(-1,0)$代入$y=(m+1)x+\dfrac{3}{2}$，得$-(m+1)+\dfrac{3}{2}=0$，解得$m=\dfrac{1}{2}$。
(2) 由$OP=3OA$，$OA=1$，可得$OP=3$。
因为点P在x轴正半轴，所以P点坐标为$(3,0)$。
设直线BP的函数表达式为$y=kx+b$，将$P(3,0)$、$B(0,\dfrac{3}{2})$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
解得$k=-\dfrac{1}{2},b=\dfrac{3}{2}$。
因此直线BP的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{1}{2}$，点A的坐标为$(-1,0)$；
(2) 直线BP的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$。
【知识点】
一次函数的图象性质，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题核心是先通过已知条件推导相关点的坐标，再结合待定系数法求解函数解析式，属于一次函数模块的常规考法，需要熟练掌握解题逻辑。
【难度系数】
0.7

10. 一支蜡烛长9厘米，点燃后每分钟燃烧掉0.1厘米，设点燃x分钟后，剩余蜡烛的长度为y厘米.
(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.
(2)画出上述函数的图象.
(3)第(2)小题中的图象是一条直线吗？为什么？

10.(1)$y=9-0.1x\quad 0≤ x≤90$ (2)作图略 (3)不是,是一条线段 理由略

【分析】
(1) 先根据“剩余蜡烛长度=原长-已燃烧长度”的等量关系推导函数表达式；再结合实际意义，燃烧时间不能为负、蜡烛剩余长度不能为负，据此列不等式求出自变量x的取值范围。(2) 画函数图像时选取x=0、y=0对应的两个特殊端点，描点后连线即可。(3) 结合自变量的取值范围是有限区间，对比直线、线段的定义判断图像类型。
【解析】
(1) 已知蜡烛原长9cm，每分钟燃烧0.1cm，x分钟燃烧的长度为0.1x cm，因此剩余长度$y=9-0.1x$。
根据实际意义：①燃烧时间非负，即$x≥0$；②剩余长度非负，即$9-0.1x≥0$，解得$x≤90$。
因此自变量x的取值范围为$0≤ x≤90$。
(2) 先取两个特殊点：当$x=0$时，$y=9$；当$x=90$时，$y=0$。在平面直角坐标系中描出$(0,9)$和$(90,0)$两个实心点，用线段连接两点即得到函数图象。
(3) 该图象不是直线。理由：一次函数的完整图象是可向两端无限延伸的直线，但本题中x只能取$0≤ x≤90$之间的数值，因此图象仅为两个端点之间的线段，无法无限延伸，因此不是直线。
【答案】
(1)$y=9-0.1x\quad 0≤ x≤90$ (2)作图略 (3)不是,是一条线段 理由略
【知识点】
一次函数解析式，自变量取值范围，一次函数的图象
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的基础应用，核心易错点是忽略实际问题中自变量的取值限制，误将函数图象判断为完整直线，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8