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4*. 如图7,从楼顶点A处看楼下荷塘点C处的俯角为$45°$,看楼下荷塘点D处的俯角为$60°$,已知楼高AB为30 m,则荷塘的宽CD为
$(30-10\sqrt{3})$
m(结果保留根号). 答案
4. $(30-10\sqrt{3})$
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，首先根据俯角的性质，将俯角转化为对应直角三角形的内角：从A处的水平线与AC、AD的夹角分别为45°、60°，利用平行线内错角相等，可得∠ACB=45°、∠ADB=60°。接下来先在等腰Rt△ABC中求出BC的长度，再在Rt△ABD中利用正切函数求出BD的长度，最后用BC减去BD即可得到CD的长度。
【解析】
由题意得：AB⊥BC，即∠ABC=90°。
∵ 从A处看C处的俯角为45°，根据平行线内错角相等，得∠ACB=45°，
∴ Rt△ABC为等腰直角三角形，$BC=AB=30\ \mathrm{m}$。
∵ 从A处看D处的俯角为60°，同理得∠ADB=60°，
在Rt△ABD中，$\tan∠ ADB=\frac{AB}{BD}$，
代入数据得：$\tan60°=\frac{30}{BD}$，即$\sqrt{3}=\frac{30}{BD}$，
解得：$BD=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ $CD=BC-BD=30-10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(30-10\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形，俯角的概念，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是将实际中的俯角条件转化为直角三角形的内角，结合特殊角的三角函数值计算对应边长即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的实际应用问题，首先根据俯角的性质，将俯角转化为对应直角三角形的内角：从A处的水平线与AC、AD的夹角分别为45°、60°，利用平行线内错角相等，可得∠ACB=45°、∠ADB=60°。接下来先在等腰Rt△ABC中求出BC的长度，再在Rt△ABD中利用正切函数求出BD的长度，最后用BC减去BD即可得到CD的长度。
【解析】
由题意得：AB⊥BC，即∠ABC=90°。
∵ 从A处看C处的俯角为45°，根据平行线内错角相等，得∠ACB=45°，
∴ Rt△ABC为等腰直角三角形，$BC=AB=30\ \mathrm{m}$。
∵ 从A处看D处的俯角为60°，同理得∠ADB=60°，
在Rt△ABD中，$\tan∠ ADB=\frac{AB}{BD}$，
代入数据得：$\tan60°=\frac{30}{BD}$，即$\sqrt{3}=\frac{30}{BD}$，
解得：$BD=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ $CD=BC-BD=30-10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(30-10\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形，俯角的概念，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是将实际中的俯角条件转化为直角三角形的内角，结合特殊角的三角函数值计算对应边长即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图8，大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为$60°$，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为$30°$，求塔BC的高度.
1. 如图8，大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为$60°$，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为$30°$，求塔BC的高度.
答案
1. 15米
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的仰角应用问题，首先梳理已知条件：AD=10米，∠BAC=60°，∠BDE=30°，由图可知四边形ADEC为矩形，可得DE=AC、CE=AD=10米。我们可以设塔BC的高度为x米，那么BE的长度为(x-10)米，接下来分别在两个直角三角形Rt△BDE和Rt△ABC中，用正切函数表示出DE和AC的长度，再利用DE=AC的等量关系列方程求解，即可得到塔BC的高度。
【解析】
解：设塔BC的高度为$ x $米。
由题意得四边形$ ADEC $是矩形，因此：
$ CE=AD=10 $米，$ DE=AC $
则$ BE=BC-CE=(x-10) $米。
在$ \mathrm{Rt}△ BDE $中，$ ∠ BDE=30° $，根据正切的定义：
$ \tan30°=\frac{BE}{DE} $
代入得：$ DE=\frac{BE}{\tan30°}=\frac{x-10}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}(x-10) $ 米。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ BAC=60° $，根据正切的定义：
$ \tan60°=\frac{BC}{AC} $
代入得：$ AC=\frac{BC}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}} $ 米。
∵$ DE=AC $
∴$ \sqrt{3}(x-10)=\frac{x}{\sqrt{3}} $
两边同乘$ \sqrt{3} $得：$ 3(x-10)=x $
解得：$ x=15 $
【答案】
15米
【知识点】
解直角三角形应用；锐角三角函数；矩形的性质
【点评】
本题是仰角类解直角三角形的基础典型题，解题核心是利用矩形性质找到相等的边，将两个直角三角形的边建立关联，通过列方程求解，要求学生熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的仰角应用问题，首先梳理已知条件：AD=10米，∠BAC=60°，∠BDE=30°，由图可知四边形ADEC为矩形，可得DE=AC、CE=AD=10米。我们可以设塔BC的高度为x米，那么BE的长度为(x-10)米，接下来分别在两个直角三角形Rt△BDE和Rt△ABC中，用正切函数表示出DE和AC的长度，再利用DE=AC的等量关系列方程求解，即可得到塔BC的高度。
【解析】
解：设塔BC的高度为$ x $米。
由题意得四边形$ ADEC $是矩形，因此：
$ CE=AD=10 $米，$ DE=AC $
则$ BE=BC-CE=(x-10) $米。
在$ \mathrm{Rt}△ BDE $中，$ ∠ BDE=30° $，根据正切的定义：
$ \tan30°=\frac{BE}{DE} $
代入得：$ DE=\frac{BE}{\tan30°}=\frac{x-10}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}(x-10) $ 米。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ BAC=60° $，根据正切的定义：
$ \tan60°=\frac{BC}{AC} $
代入得：$ AC=\frac{BC}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}} $ 米。
∵$ DE=AC $
∴$ \sqrt{3}(x-10)=\frac{x}{\sqrt{3}} $
两边同乘$ \sqrt{3} $得：$ 3(x-10)=x $
解得：$ x=15 $
【答案】
15米
【知识点】
解直角三角形应用；锐角三角函数；矩形的性质
【点评】
本题是仰角类解直角三角形的基础典型题，解题核心是利用矩形性质找到相等的边，将两个直角三角形的边建立关联，通过列方程求解，要求学生熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
2. 如图9,某建筑物BC顶部有一旗杆AB,且点A,B,C在同一直线上.小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为$47°$,观测旗杆底部B的仰角为$42°$.已知点D到地面的距离DE为1.56 m,EC=21 m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结果保留小数点后一位.参考数据:$\tan47°\approx1.07$, $\tan42°\approx0.90$).
答案
2. AB为3.6米,BC为20.5米
解析
【分析】
要解决这个实际测量问题，首先通过作辅助线构造直角三角形，将已知的仰角、水平距离转化为直角三角形的边角关系。过点D作DF垂直AC于F，可得四边形DECF是矩形，得到DF=EC=21m，FC=DE=1.56m。接下来分别在两个含仰角的直角三角形中，利用正切函数求出AF和BF的长度，旗杆AB的高度为AF与BF的差，建筑物BC的高度为BF加FC的高度即可。
【解析】
解：过点D作$DF⊥ AC$于点F，
$\because DE⊥ EC$，$FC⊥ EC$，$DF⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形DECF是矩形，
$\therefore DF=EC=21\mathrm{m}$，$FC=DE=1.56\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ ADF=47°$，
$\because \tan∠ ADF=\frac{AF}{DF}$，
$\therefore AF=DF· \tan47°\approx21×1.07=22.47\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ BDF=42°$，
$\because \tan∠ BDF=\frac{BF}{DF}$，
$\therefore BF=DF· \tan42°\approx21×0.90=18.9\mathrm{m}$。
$\therefore AB=AF-BF\approx22.47-18.9=3.57\approx3.6\mathrm{m}$，
$BC=BF+FC\approx18.9+1.56=20.46\approx20.5\mathrm{m}$。
【答案】
旗杆AB的高度为3.6米，建筑物BC的高度为20.5米。
【知识点】
仰角问题，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际测量的角度、距离转化为直角三角形的边角关系，结合三角函数值计算待求线段长度，运算时要注意按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.7
要解决这个实际测量问题，首先通过作辅助线构造直角三角形，将已知的仰角、水平距离转化为直角三角形的边角关系。过点D作DF垂直AC于F，可得四边形DECF是矩形，得到DF=EC=21m，FC=DE=1.56m。接下来分别在两个含仰角的直角三角形中，利用正切函数求出AF和BF的长度，旗杆AB的高度为AF与BF的差，建筑物BC的高度为BF加FC的高度即可。
【解析】
解：过点D作$DF⊥ AC$于点F，
$\because DE⊥ EC$，$FC⊥ EC$，$DF⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形DECF是矩形，
$\therefore DF=EC=21\mathrm{m}$，$FC=DE=1.56\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ ADF=47°$，
$\because \tan∠ ADF=\frac{AF}{DF}$，
$\therefore AF=DF· \tan47°\approx21×1.07=22.47\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ BDF=42°$，
$\because \tan∠ BDF=\frac{BF}{DF}$，
$\therefore BF=DF· \tan42°\approx21×0.90=18.9\mathrm{m}$。
$\therefore AB=AF-BF\approx22.47-18.9=3.57\approx3.6\mathrm{m}$，
$BC=BF+FC\approx18.9+1.56=20.46\approx20.5\mathrm{m}$。
【答案】
旗杆AB的高度为3.6米，建筑物BC的高度为20.5米。
【知识点】
仰角问题，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际测量的角度、距离转化为直角三角形的边角关系，结合三角函数值计算待求线段长度，运算时要注意按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.7
