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10. 下列运算不正确的是(
A.$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
B.$\sqrt[3]{-27}=3$
C.$\sqrt[3]{2^3-3^2}=-1$
D.$-\sqrt[3]{1-65}=4$
B
).A.$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
B.$\sqrt[3]{-27}=3$
C.$\sqrt[3]{2^3-3^2}=-1$
D.$-\sqrt[3]{1-65}=4$
答案
10.B
解析
【解析】
分别对各选项进行计算：
选项A：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，运算正确；
选项B：$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，而非3，运算错误；
选项C：先计算根号内的式子，$2^3-3^2=8-9=-1$，则$\sqrt[3]{-1}=-1$，运算正确；
选项D：先计算根号内的式子，$1-65=-64$，则$-\sqrt[3]{-64}=-(-4)=4$，运算正确。
因此运算不正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质及运算
【点评】
本题考查立方根的运算，需熟练掌握立方根的性质，计算时先化简根号内的表达式，再求立方根，注意立方根的符号与被开方数的符号一致。
分别对各选项进行计算：
选项A：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，运算正确；
选项B：$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，而非3，运算错误；
选项C：先计算根号内的式子，$2^3-3^2=8-9=-1$，则$\sqrt[3]{-1}=-1$，运算正确；
选项D：先计算根号内的式子，$1-65=-64$，则$-\sqrt[3]{-64}=-(-4)=4$，运算正确。
因此运算不正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质及运算
【点评】
本题考查立方根的运算，需熟练掌握立方根的性质，计算时先化简根号内的表达式，再求立方根，注意立方根的符号与被开方数的符号一致。
11. $-\sqrt{64}$ 的立方根是
-2
.答案
11.-2
解析
【解析】
先计算$-\sqrt{64}$的值：$\sqrt{64}=8$，所以$-\sqrt{64}=-8$；
再求$-8$的立方根：因为$(-2)^3=-8$，所以$-8$的立方根是$-2$，即$-\sqrt{64}$的立方根是$-2$。
【答案】
-2
【知识点】
算术平方根，立方根
【点评】
本题需先准确计算出$-\sqrt{64}$的结果，再根据立方根的定义求解，注意运算顺序与符号的处理，避免因符号失误导致错误。
先计算$-\sqrt{64}$的值：$\sqrt{64}=8$，所以$-\sqrt{64}=-8$；
再求$-8$的立方根：因为$(-2)^3=-8$，所以$-8$的立方根是$-2$，即$-\sqrt{64}$的立方根是$-2$。
【答案】
-2
【知识点】
算术平方根，立方根
【点评】
本题需先准确计算出$-\sqrt{64}$的结果，再根据立方根的定义求解，注意运算顺序与符号的处理，避免因符号失误导致错误。
12. 已知 $\sqrt[3]{x}=4$, 且 $(y-2m+1)^2+\sqrt{m-3}=0$, 求 $\sqrt[3]{x+y^3+m^3}$ 的值.
答案
12.6
解析
【解析】
1. 根据立方根的定义，由 $\sqrt[3]{x}=4$，可得 $x=4^3=64$；
2. 因为平方数和算术平方根均为非负数，且 $(y-2m+1)^2+\sqrt{m-3}=0$，根据非负数的性质，得：
$\begin{cases}m-3=0\\y-2m+1=0\end{cases}$
3. 解 $m-3=0$，得 $m=3$；将 $m=3$ 代入 $y-2m+1=0$，得 $y=2×3-1=5$；
4. 计算 $x+y^3+m^3=64+5^3+3^3=64+125+27=216$；
5. 因此 $\sqrt[3]{x+y^3+m^3}=\sqrt[3]{216}=6$。
【答案】
6
【知识点】
立方根的定义；非负数的性质；有理数乘方
【点评】
本题是立方根与非负数性质的综合应用题，解题关键是利用非负数和为0的性质求出$m$、$y$的值，再结合立方根的定义完成计算，需熟练掌握非负数的性质与立方根的运算规则。
1. 根据立方根的定义，由 $\sqrt[3]{x}=4$，可得 $x=4^3=64$；
2. 因为平方数和算术平方根均为非负数，且 $(y-2m+1)^2+\sqrt{m-3}=0$，根据非负数的性质，得：
$\begin{cases}m-3=0\\y-2m+1=0\end{cases}$
3. 解 $m-3=0$，得 $m=3$；将 $m=3$ 代入 $y-2m+1=0$，得 $y=2×3-1=5$；
4. 计算 $x+y^3+m^3=64+5^3+3^3=64+125+27=216$；
5. 因此 $\sqrt[3]{x+y^3+m^3}=\sqrt[3]{216}=6$。
【答案】
6
【知识点】
立方根的定义；非负数的性质；有理数乘方
【点评】
本题是立方根与非负数性质的综合应用题，解题关键是利用非负数和为0的性质求出$m$、$y$的值，再结合立方根的定义完成计算，需熟练掌握非负数的性质与立方根的运算规则。
13. 为什么 $\sqrt{2}$ 不是有理数?
(1) 阅读与思考: 假设 $\sqrt{2}$ 是有理数, 那么存在两个互质的正整数 $p$ 和 $q$, 使得 $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$. 等式两边平方, 得 $2=(\dfrac{p}{q})^2$, 即 $p^2=$
故 $p^2$ 是偶数. 因为只有偶数的平方才是偶数, 所以 $p$ 也是偶数.
设 $p=2s$ ($s$ 是正整数), 代入 ①, 得 $q^2=$
所以 $q$ 也是偶数, 则 $p$ 和 $q$ 都是偶数, 不互质. 这与假设 $p$ 和 $q$ 互质矛盾.
这个矛盾说明 $\sqrt{2}$ 不能写成分数的形式, 即 $\sqrt{2}$ 不是有理数.
(2) 运用并解决: 类比上述的阅读与思考, 推理说明 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数.
(1) 阅读与思考: 假设 $\sqrt{2}$ 是有理数, 那么存在两个互质的正整数 $p$ 和 $q$, 使得 $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$. 等式两边平方, 得 $2=(\dfrac{p}{q})^2$, 即 $p^2=$
$2q^{2}$
. ①故 $p^2$ 是偶数. 因为只有偶数的平方才是偶数, 所以 $p$ 也是偶数.
设 $p=2s$ ($s$ 是正整数), 代入 ①, 得 $q^2=$
$2s^{2}$
.所以 $q$ 也是偶数, 则 $p$ 和 $q$ 都是偶数, 不互质. 这与假设 $p$ 和 $q$ 互质矛盾.
这个矛盾说明 $\sqrt{2}$ 不能写成分数的形式, 即 $\sqrt{2}$ 不是有理数.
(2) 运用并解决: 类比上述的阅读与思考, 推理说明 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数.
答案
13.(1)$2q^{2}$ $2s^{2}$
(2)假设$\sqrt[3]{2}$是有理数,那么存在两个互质的正整数$p$和$q$,使得$\sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}$.
等式两边立方,得$2=(\frac{p}{q})^{3}$,即$p^{3}=2q^{3}$.①
故$p^{3}$是偶数.因为只有偶数的立方才是偶数,所以$p$也是偶数.
设$p=2s$($s$是正整数),代入①,得$q^{3}=4s^{3}$.
所以$q$也是偶数,则$p$和$q$都是偶数,不互质.这与假设$p$和$q$互质矛盾.
这个矛盾说明$\sqrt[3]{2}$不能写成分数的形式,即$\sqrt[3]{2}$不是有理数.
(2)假设$\sqrt[3]{2}$是有理数,那么存在两个互质的正整数$p$和$q$,使得$\sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}$.
等式两边立方,得$2=(\frac{p}{q})^{3}$,即$p^{3}=2q^{3}$.①
故$p^{3}$是偶数.因为只有偶数的立方才是偶数,所以$p$也是偶数.
设$p=2s$($s$是正整数),代入①,得$q^{3}=4s^{3}$.
所以$q$也是偶数,则$p$和$q$都是偶数,不互质.这与假设$p$和$q$互质矛盾.
这个矛盾说明$\sqrt[3]{2}$不能写成分数的形式,即$\sqrt[3]{2}$不是有理数.
