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1. 计算$(x+2)^2$的结果为$x^2 + □ x +4$，则“$□$”中的数为 （
A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
D
）A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
答案
1. D
解析
【分析】
这道题考查完全平方和公式的应用，解题思路很清晰：首先回忆完全平方和公式的标准结构，再将题目中的式子和公式做对应，代入参数计算出展开式的中间项，就能得到方框里的数。完全平方和公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，本题中$(x+2)^2$里的$x$对应公式里的$a$，$2$对应公式里的$b$，只需要计算出$2ab$的系数即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
把$a=x$，$b=2$代入公式展开：
$(x+2)^2=x^2+2× x×2+2^2=x^2+4x+4$，
和题干给出的$x^2+□x+4$对比，可知$□$中的数是4。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，熟记公式的展开形式就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方和公式的应用，解题思路很清晰：首先回忆完全平方和公式的标准结构，再将题目中的式子和公式做对应，代入参数计算出展开式的中间项，就能得到方框里的数。完全平方和公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，本题中$(x+2)^2$里的$x$对应公式里的$a$，$2$对应公式里的$b$，只需要计算出$2ab$的系数即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
把$a=x$，$b=2$代入公式展开：
$(x+2)^2=x^2+2× x×2+2^2=x^2+4x+4$，
和题干给出的$x^2+□x+4$对比，可知$□$中的数是4。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，熟记公式的展开形式就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
2. 设$(3m+2n)^2=(3m-2n)^2+P$，则$P$代表的是（
A.$12mn$
B.$24mn$
C.$6mn$
D.$48mn$
B
）A.$12mn$
B.$24mn$
C.$6mn$
D.$48mn$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定P的表达式，可先对已知等式移项，得到$P=(3m+2n)^2 - (3m-2n)^2$。接下来利用完全平方公式分别展开两个完全平方项，再通过去括号、合并同类项化简，即可求出P的结果，对应选项得到答案。
【解析】
对已知等式移项可得：
$P=(3m+2n)^2 - (3m-2n)^2$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分别展开两个平方项：
$(3m+2n)^2=(3m)^2+2×3m×2n+(2n)^2=9m^2+12mn+4n^2$
$(3m-2n)^2=(3m)^2-2×3m×2n+(2n)^2=9m^2-12mn+4n^2$
将展开结果代入P的表达式：
$\begin{aligned}P&=(9m^2+12mn+4n^2)-(9m^2-12mn+4n^2)\\&=9m^2+12mn+4n^2-9m^2+12mn-4n^2\\&=24mn\end{aligned}$
因此P代表的是24mn，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题考查完全平方公式的应用与整式化简，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，注意去括号时的符号变化，属于整式乘法模块的基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定P的表达式，可先对已知等式移项，得到$P=(3m+2n)^2 - (3m-2n)^2$。接下来利用完全平方公式分别展开两个完全平方项，再通过去括号、合并同类项化简，即可求出P的结果，对应选项得到答案。
【解析】
对已知等式移项可得：
$P=(3m+2n)^2 - (3m-2n)^2$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分别展开两个平方项：
$(3m+2n)^2=(3m)^2+2×3m×2n+(2n)^2=9m^2+12mn+4n^2$
$(3m-2n)^2=(3m)^2-2×3m×2n+(2n)^2=9m^2-12mn+4n^2$
将展开结果代入P的表达式：
$\begin{aligned}P&=(9m^2+12mn+4n^2)-(9m^2-12mn+4n^2)\\&=9m^2+12mn+4n^2-9m^2+12mn-4n^2\\&=24mn\end{aligned}$
因此P代表的是24mn，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题考查完全平方公式的应用与整式化简，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，注意去括号时的符号变化，属于整式乘法模块的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 已知$a - b = 1$，$a^2 + b^2 = 5$，则$ab$的值为（
A.$-4$
B.$4$
C.$-2$
D.$2$
D
）A.$-4$
B.$4$
C.$-2$
D.$2$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先联想到完全平方差公式，观察已知条件中给出了$a-b$的值与$a^2+b^2$的值，而完全平方差公式展开后恰好包含这两个式子以及待求的$ab$，因此可以通过代入已知条件建立关于$ab$的方程，解方程即可求出$ab$的值。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
已知$a - b = 1$，$a^2 + b^2 = 5$，将其代入上式：
$1^2 = 5 - 2ab$
整理得：
$1 = 5 - 2ab$
移项计算：
$2ab = 5 - 1 = 4$
解得$ab = 2$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征和常见变形是解决此类问题的核心，解题时只需将已知条件对应代入公式变形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先联想到完全平方差公式，观察已知条件中给出了$a-b$的值与$a^2+b^2$的值，而完全平方差公式展开后恰好包含这两个式子以及待求的$ab$，因此可以通过代入已知条件建立关于$ab$的方程，解方程即可求出$ab$的值。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
已知$a - b = 1$，$a^2 + b^2 = 5$，将其代入上式：
$1^2 = 5 - 2ab$
整理得：
$1 = 5 - 2ab$
移项计算：
$2ab = 5 - 1 = 4$
解得$ab = 2$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征和常见变形是解决此类问题的核心，解题时只需将已知条件对应代入公式变形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 已知$a^2 + b^2 = 16$，且$\frac{1}{2}ab = -3$，则$a + b$的值是（
A.4
B.$\pm 4$
C.2
D.$\pm 2$
D
）A.4
B.$\pm 4$
C.2
D.$\pm 2$
答案
4. D
解析
【分析】
要求$a+b$的值，可联想到完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。已知$a^2+b^2$的取值，只需先根据$\frac{1}{2}ab=-3$求出$2ab$的值，代入公式即可算出$(a+b)^2$的结果，最后对结果开平方就能得到$a+b$的值，注意正数开平方时有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
解：已知$\frac{1}{2}ab=-3$，等式两边同时乘2可得：
$ab=-6$，因此$2ab=-12$。
根据完全平方和公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$a^2+b^2=16$、$2ab=-12$代入上式得：
$(a+b)^2=16+(-12)=4$
对等式两边同时开平方得：
$a+b=\pm\sqrt{4}=\pm2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方根的运算
【点评】
本题是完全平方公式的典型变形应用题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，建立已知条件和待求式之间的联系，同时要注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.75
要求$a+b$的值，可联想到完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。已知$a^2+b^2$的取值，只需先根据$\frac{1}{2}ab=-3$求出$2ab$的值，代入公式即可算出$(a+b)^2$的结果，最后对结果开平方就能得到$a+b$的值，注意正数开平方时有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
解：已知$\frac{1}{2}ab=-3$，等式两边同时乘2可得：
$ab=-6$，因此$2ab=-12$。
根据完全平方和公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$a^2+b^2=16$、$2ab=-12$代入上式得：
$(a+b)^2=16+(-12)=4$
对等式两边同时开平方得：
$a+b=\pm\sqrt{4}=\pm2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方根的运算
【点评】
本题是完全平方公式的典型变形应用题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，建立已知条件和待求式之间的联系，同时要注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.75
5. 计算：
(1) $(a^2 - b^2)^2$；
(2) $(3x + 2y)^2 + (3x - 2y)^2$；
(3) $1002^2$。
(1) $(a^2 - b^2)^2$；
(2) $(3x + 2y)^2 + (3x - 2y)^2$；
(3) $1002^2$。
答案
5. (1) $a^4-2a^2b^2+b^4$
(2) $18x^2+8y^2$
(3) 1 004 004
(2) $18x^2+8y^2$
(3) 1 004 004
解析
【分析】
这三道题均围绕完全平方公式的应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)题：观察式子是两个整式差的平方，可将$a^2$、$b^2$分别看作完全平方差公式中的两个整体，直接套用公式展开计算即可。
2. 第(2)题：式子是两个完全平方的和，分别套用完全平方和、完全平方差公式展开两个括号，注意区分两个公式中间项的符号，再合并同类项得到结果。
3. 第(3)题：属于简便计算类题目，1002接近整千数1000，因此将1002拆为$1000+2$，再套用完全平方和公式计算，可大幅降低计算难度，减少出错概率。
【解析】
(1) 根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，令$m=a^2$，$n=b^2$，代入得：
原式$=(a^2)^2 - 2· a^2· b^2 + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$
(2) 先分别展开两个完全平方：
$(3x+2y)^2=(3x)^2 + 2×3x×2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$
$(3x-2y)^2=(3x)^2 - 2×3x×2y + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$
将两个展开式相加，合并同类项：
原式$=9x^2 + 12xy + 4y^2 + 9x^2 - 12xy + 4y^2 = 18x^2 + 8y^2$
(3) 将1002变形为$1000+2$，根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$计算：
原式$=(1000+2)^2 = 1000^2 + 2×1000×2 + 2^2 = 1000000 + 4000 + 4 = 1004004$
【答案】
(1) $a^4-2a^2b^2+b^4$
(2) $18x^2+8y^2$
(3) $1004004$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 合并同类项
3. 简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是准确记忆完全平方公式，找准公式中对应的两项，注意区分和的平方与差的平方的中间项符号，简便计算类题目要学会将大数拆为整十/整百数与较小数的和或差，简化计算过程。
【难度系数】
0.85
这三道题均围绕完全平方公式的应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)题：观察式子是两个整式差的平方，可将$a^2$、$b^2$分别看作完全平方差公式中的两个整体，直接套用公式展开计算即可。
2. 第(2)题：式子是两个完全平方的和，分别套用完全平方和、完全平方差公式展开两个括号，注意区分两个公式中间项的符号，再合并同类项得到结果。
3. 第(3)题：属于简便计算类题目，1002接近整千数1000，因此将1002拆为$1000+2$，再套用完全平方和公式计算，可大幅降低计算难度，减少出错概率。
【解析】
(1) 根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，令$m=a^2$，$n=b^2$，代入得：
原式$=(a^2)^2 - 2· a^2· b^2 + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$
(2) 先分别展开两个完全平方：
$(3x+2y)^2=(3x)^2 + 2×3x×2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$
$(3x-2y)^2=(3x)^2 - 2×3x×2y + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$
将两个展开式相加，合并同类项：
原式$=9x^2 + 12xy + 4y^2 + 9x^2 - 12xy + 4y^2 = 18x^2 + 8y^2$
(3) 将1002变形为$1000+2$，根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$计算：
原式$=(1000+2)^2 = 1000^2 + 2×1000×2 + 2^2 = 1000000 + 4000 + 4 = 1004004$
【答案】
(1) $a^4-2a^2b^2+b^4$
(2) $18x^2+8y^2$
(3) $1004004$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 合并同类项
3. 简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是准确记忆完全平方公式，找准公式中对应的两项，注意区分和的平方与差的平方的中间项符号，简便计算类题目要学会将大数拆为整十/整百数与较小数的和或差，简化计算过程。
【难度系数】
0.85
6. 在下列各式中，添括号正确的是（
A.$ a^2 - b + c = a^2 - (-b + c) $
B.$ -2x - t - a + 1 = -(2x - t) + (a - 1) $
C.$ 3x - 5x - 2x + 1 = 3x - [5x - (2x - 1)] $
D.$ a - 3x + 2y - 1 = a + (-3x + 2y - 1) $
D
）A.$ a^2 - b + c = a^2 - (-b + c) $
B.$ -2x - t - a + 1 = -(2x - t) + (a - 1) $
C.$ 3x - 5x - 2x + 1 = 3x - [5x - (2x - 1)] $
D.$ a - 3x + 2y - 1 = a + (-3x + 2y - 1) $
答案
6. D
解析
【分析】
要判断添括号是否正确，首先牢记添括号法则：添括号时，括号前是正号，括号内所有项符号不变；括号前是负号，括号内所有项符号都改变。解题时可以通过将选项等号右边的括号去掉，对比左右两边的式子是否完全相等，用去括号验证的方法更直观，不易出错，接下来逐个验证四个选项即可。
【解析】
我们逐个对选项进行验证：
A选项：等号右边去括号得$a^2 - (-b + c) = a^2 + b - c$，和左边$a^2 - b + c$不相等，A错误；
B选项：等号右边去括号得$-(2x - t) + (a - 1) = -2x + t + a - 1$，和左边$-2x - t - a + 1$不相等，B错误；
C选项：等号右边先去小括号，再去中括号：$3x - [5x - (2x - 1)] = 3x - [5x - 2x + 1] = 3x - 3x - 1 = -1$，左边化简得$3x - 5x - 2x + 1 = -4x + 1$，两边不相等，C错误；
D选项：等号右边去括号得$a + (-3x + 2y - 1) = a - 3x + 2y - 1$，和左边完全相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
添括号法则；去括号法则
【点评】
本题是整式变形的基础题，重点考查添括号法则的应用，通过去括号反向验证的方法可以有效降低错误率，解题时要注意括号前为负号时，括号内每一项都要改变符号，避免出现漏改符号的错误。
【难度系数】
0.8
要判断添括号是否正确，首先牢记添括号法则：添括号时，括号前是正号，括号内所有项符号不变；括号前是负号，括号内所有项符号都改变。解题时可以通过将选项等号右边的括号去掉，对比左右两边的式子是否完全相等，用去括号验证的方法更直观，不易出错，接下来逐个验证四个选项即可。
【解析】
我们逐个对选项进行验证：
A选项：等号右边去括号得$a^2 - (-b + c) = a^2 + b - c$，和左边$a^2 - b + c$不相等，A错误；
B选项：等号右边去括号得$-(2x - t) + (a - 1) = -2x + t + a - 1$，和左边$-2x - t - a + 1$不相等，B错误；
C选项：等号右边先去小括号，再去中括号：$3x - [5x - (2x - 1)] = 3x - [5x - 2x + 1] = 3x - 3x - 1 = -1$，左边化简得$3x - 5x - 2x + 1 = -4x + 1$，两边不相等，C错误；
D选项：等号右边去括号得$a + (-3x + 2y - 1) = a - 3x + 2y - 1$，和左边完全相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
添括号法则；去括号法则
【点评】
本题是整式变形的基础题，重点考查添括号法则的应用，通过去括号反向验证的方法可以有效降低错误率，解题时要注意括号前为负号时，括号内每一项都要改变符号，避免出现漏改符号的错误。
【难度系数】
0.8
7. 在括号内填上适当的项：$-3x^2 + 6x + 2 = -3(\_\_\_\_\_\_) + 2.$
答案
$x^2-2x$
解析
【分析】
首先观察等式左右两边的结构，发现等式两边都保留常数项+2，因此只需要将左边的二次项和一次项$-3x^2+6x$变形为$-3$与某个多项式相乘的形式即可。我们可以通过提取公因式$-3$的方法求解：提取公因式时，用原式的每一项除以公因式，就能得到括号内的项，注意提取负公因式时，原各项的符号要改变。
【解析】
解：对等式左边的前两项提取公因式$-3$：
$-3x^2 + 6x = -3 × x^2 + (-3) × (-2x) = -3(x^2 - 2x)$
代入原式可得：$-3x^2 + 6x + 2 = -3(x^2 - 2x) + 2$
因此括号内应填$x^2-2x$。
【答案】
$x^2-2x$
【知识点】
添括号法则；提公因式法
【点评】
本题属于整式变形的基础题型，重点考察提取负公因式时的符号变化规则，解题时要注意提取负号后括号内的每一项都要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
首先观察等式左右两边的结构，发现等式两边都保留常数项+2，因此只需要将左边的二次项和一次项$-3x^2+6x$变形为$-3$与某个多项式相乘的形式即可。我们可以通过提取公因式$-3$的方法求解：提取公因式时，用原式的每一项除以公因式，就能得到括号内的项，注意提取负公因式时，原各项的符号要改变。
【解析】
解：对等式左边的前两项提取公因式$-3$：
$-3x^2 + 6x = -3 × x^2 + (-3) × (-2x) = -3(x^2 - 2x)$
代入原式可得：$-3x^2 + 6x + 2 = -3(x^2 - 2x) + 2$
因此括号内应填$x^2-2x$。
【答案】
$x^2-2x$
【知识点】
添括号法则；提公因式法
【点评】
本题属于整式变形的基础题型，重点考察提取负公因式时的符号变化规则，解题时要注意提取负号后括号内的每一项都要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
8. 计算：
(1) $(a - 2b - 3c)^2$；
(2) $(x + 2y - z)(x - 2y - z) - (x + y - z)^2$。
(1) $(a - 2b - 3c)^2$；
(2) $(x + 2y - z)(x - 2y - z) - (x + y - z)^2$。
答案
(1) $a^2+4b^2+9c^2-4ab-6ac+12bc$
(2) $-5y^2-2xy+2yz$
(2) $-5y^2-2xy+2yz$
解析
【分析】
(1) 计算三项式的平方时，可采用整体代换思想，将其中两个项看作一个整体，转化为两数和的完全平方形式，再分步展开计算，降低运算难度。
(2) 观察第一个乘积的因式特征，$x$和$-z$的符号一致，$2y$的符号相反，因此可把$(x-z)$看作整体，先用平方差公式计算乘积；再将第二个完全平方式中的$(x-z)$也看作整体，用完全平方公式展开，最后去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 把$(-2b-3c)$看作整体，利用完全平方公式展开：
$\begin{aligned}(a - 2b - 3c)^2&=[a+(-2b-3c)]^2\\&=a^2 + 2· a· (-2b-3c) + (-2b-3c)^2\\&=a^2 -4ab -6ac + (2b+3c)^2\\&=a^2 -4ab -6ac + 4b^2 + 12bc +9c^2\\&=a^2+4b^2+9c^2-4ab-6ac+12bc\end{aligned}$
(2) 先计算乘积部分，再计算完全平方部分：
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=[(x-z)+2y][(x-z)-2y] - [(x-z)+y]^2\\&=(x-z)^2 - (2y)^2 - [(x-z)^2 + 2y(x-z) + y^2]\\&=(x-z)^2 -4y^2 - (x-z)^2 -2xy +2yz -y^2\\&=-4y^2 -2xy +2yz -y^2\\&=-5y^2-2xy+2yz\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{a^2+4b^2+9c^2-4ab-6ac+12bc}$
(2) $\boxed{-5y^2-2xy+2yz}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题核心考查乘法公式的灵活运用，解题的关键是合理使用整体思想简化运算过程，计算时要注意去括号的符号规则，合并同类项时避免出现漏项、错项的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 计算三项式的平方时，可采用整体代换思想，将其中两个项看作一个整体，转化为两数和的完全平方形式，再分步展开计算，降低运算难度。
(2) 观察第一个乘积的因式特征，$x$和$-z$的符号一致，$2y$的符号相反，因此可把$(x-z)$看作整体，先用平方差公式计算乘积；再将第二个完全平方式中的$(x-z)$也看作整体，用完全平方公式展开，最后去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 把$(-2b-3c)$看作整体，利用完全平方公式展开：
$\begin{aligned}(a - 2b - 3c)^2&=[a+(-2b-3c)]^2\\&=a^2 + 2· a· (-2b-3c) + (-2b-3c)^2\\&=a^2 -4ab -6ac + (2b+3c)^2\\&=a^2 -4ab -6ac + 4b^2 + 12bc +9c^2\\&=a^2+4b^2+9c^2-4ab-6ac+12bc\end{aligned}$
(2) 先计算乘积部分，再计算完全平方部分：
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=[(x-z)+2y][(x-z)-2y] - [(x-z)+y]^2\\&=(x-z)^2 - (2y)^2 - [(x-z)^2 + 2y(x-z) + y^2]\\&=(x-z)^2 -4y^2 - (x-z)^2 -2xy +2yz -y^2\\&=-4y^2 -2xy +2yz -y^2\\&=-5y^2-2xy+2yz\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{a^2+4b^2+9c^2-4ab-6ac+12bc}$
(2) $\boxed{-5y^2-2xy+2yz}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题核心考查乘法公式的灵活运用，解题的关键是合理使用整体思想简化运算过程，计算时要注意去括号的符号规则，合并同类项时避免出现漏项、错项的问题。
【难度系数】
0.7
