1. 如图,在$△AOB$中,$AO= OB$,$∠AOB= 90^{\circ}$,$BD平分∠ABO交AO于点D$,$AE⊥BD交BD延长线于点E$。求证：$BD= 2AE$。

证明:延长 AE 交 BO 的延长线于点 F.
由模型知$\triangle ABE\cong \triangle FBE(ASA)$，
$\therefore AE=FE$，
$\therefore AF=2AE$.
$\because ∠AEB=∠AOB=90^{\circ }$，
$\therefore ∠OAF+∠AFO=90^{\circ }$，
$∠OBD+∠AFO=90^{\circ }$，
$\therefore ∠OAF=∠OBD$.
又$\because OA=OB$，
$∠AOF=∠BOD=90^{\circ }$，
$\therefore \triangle AOF\cong \triangle BOD(ASA)$，
$\therefore AF=BD$，
$\therefore BD=2AE$.

2. (原创题)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$∠BAC的角平分线AD交BC于点D$,交$∠ABC的角平分线于点E$。
(1)求$∠BED$的度数；
(2)过点$E作EF⊥AE$,交$AC于点F$,求证：$AF+BD= AB$。

解:(1)$\because ∠C=90^{\circ }$，
$\therefore ∠CAB+∠CBA=90^{\circ }$.
$\because AE$平分$∠CAB$，$BE$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠BAE=∠CAD=\frac {1}{2}∠CAB$，
$∠ABE=∠DBE=\frac {1}{2}∠ABC$，
$\therefore ∠DEB=∠BAE+∠ABE=\frac {1}{2}(∠CAB+∠ABC)=45^{\circ }$；
(2)延长 FE 交 AB 于点 M.
$\because EF⊥AE$，
$\therefore ∠AEF=∠AEM=∠DEM=90^{\circ }$.
$\because ∠DEB=45^{\circ }$，
$\therefore ∠BEM=∠BED=45^{\circ }$.
$\because AE=AE$，$BE=BE$，
$\therefore \triangle AEF\cong \triangle AEM$，$\triangle BED\cong \triangle BEM$，
$\therefore AM=AF$，$BM=BD$，
$\therefore AB=AM+BM=AF+BD$.

3. (教材变式)如图,$AD// BC$,$AE$,$BE分别平分∠DAB$,$∠CBA$,且点$E在CD$上。
(1)求证：$AE⊥BE$；
(2)求证：$DE= CE$；
(3)若$AE= 4$,$BE= 6$,求四边形$ABCD$的面积。

解:(1)$\because ∠ABE+∠BAE=\frac {1}{2}(∠DAB+∠CBA)=90^{\circ }$，
$\therefore AE⊥BE$；
(2)延长 AE 交 BC 的延长线于点 F，
证$\triangle ABE\cong \triangle FBE$，
$\therefore AE=FE$，
再证$\triangle ADE\cong \triangle FCE$，
$\therefore DE=CE$；
(3)$S_{\triangle ABF}=\frac {1}{2}AF\cdot BE=\frac {1}{2}×8×6=24$，
$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABF}=24$.