1. (2023·辽宁)如图, 在 $Rt \triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A B=5, B C=3$, 根据尺规作图的痕迹作射线 $A G$, 交 $B C$ 于点 $D$, 则 $B D$ 的长为 (
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
D
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
1. D
解析
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=5$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
由尺规作图痕迹可知，$AG$平分$\angle BAC$。
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，则$DC=DE$。
设$BD=x$，则$DC=DE=3 - x$。
$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，
$\therefore \frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DC$，
即$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×(3 - x)+\frac{1}{2}×4×(3 - x)$，
解得$x=\frac{5}{3}$，即$BD=\frac{5}{3}$。
答案：D
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
由尺规作图痕迹可知，$AG$平分$\angle BAC$。
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，则$DC=DE$。
设$BD=x$，则$DC=DE=3 - x$。
$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，
$\therefore \frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DC$，
即$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×(3 - x)+\frac{1}{2}×4×(3 - x)$，
解得$x=\frac{5}{3}$，即$BD=\frac{5}{3}$。
答案：D
2. 如图, 在每个小正方形的边长均为 1 的网格中, 点 $A, B, C$ 均在格点上, 则 $A B$ 的长为
$\sqrt{17}$
, $B C$ 的长为$\sqrt{34}$
, $A C$ 的长为$\sqrt{37}$
.答案
2. $\sqrt{17}$ $\sqrt{34}$ $\sqrt{37}$
3. 如图, 在等腰直角三角形 $A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C=3$. 若 $P$ 为边 $B C$ 的三等分点, 连接 $A P$, 则 $A P$ 的长为
$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$
.答案
3. $\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$ 解析：$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$\therefore BC = AC = 3$。在$Rt\triangle ACP$中，$AP^{2} = AC^{2} + PC^{2}$，$\because P$为边$BC$的三等分点，$\therefore$ ① 当$PC = \frac{1}{3}BC = 1$时，$AP = \sqrt{10}$；② 当$PC = \frac{2}{3}BC = 2$时，$AP = \sqrt{13}$。综上所述，$AP$的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$。
解析
解：$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=3$，
$\therefore BC=AC=3$。
$\because P$为边$BC$的三等分点，
$\therefore$ ① 当$PC=\dfrac{1}{3}BC=1$时，
在$Rt\triangle ACP$中，$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$；
② 当$PC=\dfrac{2}{3}BC=2$时，
在$Rt\triangle ACP$中，$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$。
综上所述，$AP$的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$。
$\therefore BC=AC=3$。
$\because P$为边$BC$的三等分点，
$\therefore$ ① 当$PC=\dfrac{1}{3}BC=1$时，
在$Rt\triangle ACP$中，$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$；
② 当$PC=\dfrac{2}{3}BC=2$时，
在$Rt\triangle ACP$中，$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$。
综上所述，$AP$的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$。
4. (2023·扬州)如图所示为由 4 个全等的直角三角形和 1 个小正方形组成的“赵爽弦图”, 直角三角形的两条直角边的长分别为 $a, b$, 斜边的长为 $c$. 若 $b-a=4, c=20$, 则每个直角三角形的面积为
96
.答案
4. 96 解析：将$b - a = 4$两边平方后展开，得$b^{2} - 2ab + a^{2} = 16$。由勾股定理，得$a^{2} + b^{2} = c^{2} = 400$，$\therefore ab = 192$，$\therefore$每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = 96$。
解析
解：
∵$b - a = 4$，
∴$(b - a)^2 = 16$，即$b^2 - 2ab + a^2 = 16$。
由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$，又$c = 20$，
∴$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$。
将$a^2 + b^2 = 400$代入$b^2 - 2ab + a^2 = 16$，得$400 - 2ab = 16$，
解得$ab = 192$。
∴每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×192 = 96$。
96
∵$b - a = 4$，
∴$(b - a)^2 = 16$，即$b^2 - 2ab + a^2 = 16$。
由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$，又$c = 20$，
∴$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$。
将$a^2 + b^2 = 400$代入$b^2 - 2ab + a^2 = 16$，得$400 - 2ab = 16$，
解得$ab = 192$。
∴每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×192 = 96$。
96
5. 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示 $-\sqrt{10}$ 的点.
答案
5. 作法不唯一，如图，点$A$即为所求
6. 如图, $\triangle A C B$ 和 $\triangle E C D$ 都是等腰直角三角形, $\angle A C B=\angle E C D=90^{\circ}, D$ 为边 $A B$ 上一点. 求证:
(1) $\triangle A C E \cong \triangle B C D$;
(2) $A D^2+D B^2=2 C D^2$.
(1) $\triangle A C E \cong \triangle B C D$;
(2) $A D^2+D B^2=2 C D^2$.
答案
6. (1) $\because \triangle ACB$和$\triangle ECD$都是等腰直角三角形，$\therefore AC = BC$，$CD = CE$。$\because \angle ACB = \angle ECD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BCD + \angle ACD = \angle ACE + \angle ACD$，$\therefore \angle BCD = \angle ACE$。在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$中，$\begin{cases}AC = BC, \\\angle ACE = \angle BCD, \\CE = CD,\end{cases}$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle BCD$
(2) $\because \triangle ACB$是等腰直角三角形，$\therefore \angle B = \angle BAC = 45^{\circ}$。$\because \triangle ACE \cong \triangle BCD$，$\therefore EA = DB$，$\angle CAE = \angle B = 45^{\circ}$，$\therefore \angle DAE = \angle CAE + \angle BAC = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$，$\therefore AD^{2} + EA^{2} = DE^{2}$，$\therefore AD^{2} + DB^{2} = DE^{2}$。又$\because \triangle ECD$是等腰直角三角形，$\therefore CD^{2} + CE^{2} = 2CD^{2} = DE^{2}$，$\therefore AD^{2} + DB^{2} = 2CD^{2}$
(2) $\because \triangle ACB$是等腰直角三角形，$\therefore \angle B = \angle BAC = 45^{\circ}$。$\because \triangle ACE \cong \triangle BCD$，$\therefore EA = DB$，$\angle CAE = \angle B = 45^{\circ}$，$\therefore \angle DAE = \angle CAE + \angle BAC = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$，$\therefore AD^{2} + EA^{2} = DE^{2}$，$\therefore AD^{2} + DB^{2} = DE^{2}$。又$\because \triangle ECD$是等腰直角三角形，$\therefore CD^{2} + CE^{2} = 2CD^{2} = DE^{2}$，$\therefore AD^{2} + DB^{2} = 2CD^{2}$
