6. 如图,点$A(4,3)$,若点$P$在$x$轴上且$△ POA$为等腰三角形,求点$P$的坐标.

6.解:如答图,过点 A 作$AE⊥x$轴于点 E,则$OE=4,AE=3$,由勾股定理,得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5.$
当O为顶角顶点时,以点 O 为圆心,OA 的长为半径作弧交 x 轴于点$P_1,P_2$,则$OP_1=OP_2=OA=5,$
$\therefore P_1(-5,0),P_2(5,0).$
当A为顶角顶点时,以点 A 为圆心,AO 的长为半径作弧交 x 轴于点$P_3$,则$AP_3=AO,$
$\therefore P_3E=OE=4,$
$\therefore OP_3=8,\therefore P_3(8,0).$
当P为顶角顶点时,作 OA 的垂直平分线,交 x 轴于点$P_4$,设$AP_4=OP_4=x$,则$P_4E=4-x$.在$\mathrm{Rt}△AP_4E$中,由勾股定理,得$(4-x)^2+3^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{8},$
$\therefore OP_4=\frac{25}{8},\therefore P_4(\frac{25}{8},0).$
综上所述,点 P 的坐标为$(-5,0)$或$(\frac{25}{8},0)$或$(5,0)$或$(8,0).$

7. 如图,在等腰直角$△ ABC$中,$BC=AC$,$∠ ACB=90°$,现将该三角形放置在平面直角坐标系中,点$B$的坐标为$(0,3)$,点$C$的坐标为$(9,0)$.过点$A$作$AD⊥ x$轴,垂足为$D$.
(1)求$OD$的长及点$A$的坐标.
(2)取$AB$的中点$E$,连接$OE$,$DE$,请你判定$OE$与$DE$的关系,并证明你的结论.
(3)连接$OA$,试探究在$x$轴上是否存在点$Q$,使$△ OAQ$是以$OA$为腰的等腰三角形? 若存在,请求出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.

7.解:(1)$\because$ 点 B 的坐标为$(0,3)$,点 C 的坐标为$(9,0)$,
$\therefore OB=3,OC=9.$
$\because ∠ACB=90°,$
$\therefore ∠BCO+∠ACD=90°.$
又$\because ∠BCO+∠CBO=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠CBO$,又$AC=CB,∠BOC=∠CDA=90°,$
$\therefore △BOC≌△CDA(\mathrm{AAS}),$
$\therefore CD=OB=3,$
$\therefore OD=OC+CD=12,AD=OC=9,$
$\therefore$ 点 A 的坐标为$(12,9).$
(2)$OE=DE$且$OE⊥DE.$
证明:如答图①,过点 E 作$EF⊥y$轴于点 F,交 AD 于点 G,
则$FG=OD=12$且$FG⊥AD.$

$\because B(0,3),A(12,9),E$为 AB 的中点,$\therefore E(6,6),$
$\therefore EF=EG=6,OF=DG=6.$
又$\because ∠EFO=∠EGD=90°,\therefore △EFO≌△EGD$,且$△EFO$和$△EGD$都为等腰直角三角形,
$\therefore OE=DE,∠FEO=∠GED=45°,$
$\therefore ∠OED=180°-∠FEO-∠GED=90°,$
$\therefore OE⊥DE.$
(3)存在. 由(1)知点 A 的坐标为$(12,9)$,则$OA=15$. 如答图②.
①当 A 为顶角顶点,且 OA 是腰时,
$\because AD⊥x$轴,$\therefore$ 点$Q_1$,O 关于直线 AD 对称,即$Q_1(24,0);$
②当 A 为底角顶点,且 OA 是腰时,$OQ_2=OQ_3=OA=15$,$\therefore Q_2(15,0),Q_3(-15,0).$
综上所述,点 Q 的坐标为$(24,0)$或$(15,0)$或$(-15,0).$