8 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ ABC=120°$,$E$是边$AC$上一点,连接$BE$并延长到点$D$,连接$CD$.若$∠ BCD=120°$,$AB=2CD$,$AE=7$,则线段$CE$的长为.

8. $\dfrac{7}{3}$ 【解析】过点 $B$ 作 $BM⊥ AC$ 于点 $M$,则$∠ BMA=∠ BMC=90°. \because AB=BC,∠ ABC=120°,\therefore ∠ A=∠ ACB=30°,AM=CM. \therefore BM=\dfrac{1}{2}AB. \because AB=2CD,\therefore BM=CD.$
$\because ∠ BCD=120°,\therefore ∠ DCE=∠ BCD-∠ ACB=90°.$
$\therefore ∠ BME=∠ DCE=90°.$ 易证 $△ MEB≌△ CED,\therefore ME=CE.$ 设 $CE=x$,则 $ME=x,AM=AE-ME=7-x. \therefore 7-x=2x. \therefore x=\dfrac{7}{3}. \therefore$ 线段 $CE$ 的长为$\dfrac{7}{3}.$

【分析】
要解决本题，需利用等腰三角形性质作辅助线构造直角三角形，结合已知条件推导线段关系，通过角度证明三角形全等，最终用方程思想求解CE长度。步骤如下：1. 由AB=BC和∠ABC=120°，得等腰△ABC的底角为30°，作BM⊥AC，利用等腰三角形三线合一得M为AC中点，且BM=½AB；2. 结合AB=2CD，推出BM=CD；3. 计算角度得∠DCE=90°，与∠BME相等，加上对顶角相等，证明△MEB≌△CED；4. 由全等得ME=CE，设CE=x，结合AM=CM列方程求解。
【解析】
过点B作BM⊥AC于点M，则∠BMA=∠BMC=90°。
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠ACB=(180°-120°)÷2=30°，AM=CM（等腰三角形三线合一），
∴在Rt△ABM中，BM=½AB（30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵AB=2CD，
∴BM=CD。
∵∠BCD=120°，
∴∠DCE=∠BCD - ∠ACB=120°-30°=90°，
∴∠BME=∠DCE=90°。
又
∵∠MEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△MEB≌△CED（AAS），
∴ME=CE。
设CE=x，则ME=x，
∵AE=AM + ME，AM=CM=ME + CE=x + x=2x，
∴7 = 2x + x，
解得x=7/3，
∴线段CE的长为7/3。
【答案】
7/3
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，直角三角形性质
【点评】
本题是几何综合题，需通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰三角形性质与方程思想求解，考查学生的几何推理和代数运算能力，解题关键是证明三角形全等。
【难度系数】
0.4

9 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$∠ A=30^{ \circ }$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$.
(1) 求证:$AE=2CE$;
(2) 连接$CD$,请判断$△ BCD$的形状,并说明理由.

9. (1) 连接 $BE. \because ∠ ACB=90°,∠ A=30°,\therefore ∠ ABC=60°.$
$\because DE$ 垂直平分 $AB,\therefore BE=AE. \therefore ∠ ABE=∠ A=30°.$
$\therefore ∠ CBE=∠ ABC-∠ ABE=30°. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$BE=2CE. \therefore AE=2CE$ (2) $△ BCD$ 是等边三角形 理由:$\because DE$ 垂直平分 $AB,\therefore ∠ ADE=∠ BDE=90°. \because ∠ A=30°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$AE=2DE.$ 由(1),知 $AE=2CE,\therefore DE=CE.$
$\therefore ∠ EDC=∠ ECD. \because ∠ DEC=∠ A+∠ ADE=120°,$
$\therefore ∠ EDC=∠ ECD=\dfrac{1}{2}(180°-∠ DEC)=30°. \therefore ∠ DCB=∠ ACB-∠ ECD=60°,∠ BDC=∠ BDE-∠ EDC=60°.$
$\because ∠ ABC=60°,\therefore △ BCD$ 是等边三角形.

【分析】
第(1)问要证AE=2CE，需利用DE是AB垂直平分线的性质，连接BE后将AE转化为BE，再结合直角三角形中30°角的边的关系推导；第(2)问判断△BCD形状，需结合垂直平分线、直角三角形斜边中线的性质，通过边或角的关系判定。
【解析】
(1) 连接BE。
∵ DE垂直平分AB，
∴ BE = AE，∠ADE = 90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。
又
∵ BE = AE，
∴ ∠ABE = ∠A = 30°，
∴ ∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 60° - 30° = 30°。
在Rt△BCE中，∠CBE=30°，
∴ BE = 2CE（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
又
∵ BE = AE，
∴ AE = 2CE。
(2) △BCD是等边三角形，理由如下：
∵ DE垂直平分AB，
∴ AD = BD。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ BC = ½AB，且CD是Rt△ABC斜边AB的中线，故CD = BD = ½AB，
∴ BC = CD = BD，
∴ △BCD是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）。
【答案】
(1) 证明成立，AE=2CE；(2) △BCD是等边三角形。
【知识点】
线段垂直平分线性质、直角三角形性质、等边三角形判定
【点评】
本题综合考查几何性质的应用，关键是通过辅助线转化边和角的关系，考查逻辑推理能力，难度适中。
【难度系数】
0.5

10 [2026 海门期中] 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=30°$,$∠ C=90°$,等边三角形$DEF$的三个顶点分别落在$AC$,$AB$,$BC$上,若$CD=5$,$BE=8$.
(1) 求证:$∠ 1=∠ 2$;
(2) 求$AB$的长.

(第 10 题)

10. (1) 如图,过点 $D$ 作 $DH⊥ AB$ 于点 $H$,则$∠ DHE=∠ C=90°.$ 在 $△ ABC$ 中,$∠ B=30°,∠ C=90°,\therefore ∠ A=60°,AB=2AC. \therefore ∠ 2+∠ ADE=120°. \because △ DEF$ 是等边三角形,$\therefore DE=DF,∠ EDF=60°. \therefore ∠ 1+∠ ADE=120°. \therefore ∠ 1=∠ 2$
(2) 在 $△ DHE$ 和 $△ FCD$ 中, $\begin{cases} ∠ DHE=∠ C, \\ ∠ 2=∠ 1, \\ DE=FD, \end{cases}$ $\therefore △ DHE≌△ FCD. \therefore HE=CD=5. \therefore HB=HE+BE=5+8=13.$
$\therefore AB=BH+AH=13+AH.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADH$ 中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ADH=30°. \therefore AD=2AH. \therefore AC=CD+AD=5+2AH.$
由(1),知 $AB=2AC,\therefore 13+AH=2(5+2AH). \therefore AH=1.$
$\therefore AB=13+1$

【分析】
要解决本题，分两步分析：
(1) 证明∠1=∠2时，先利用△ABC的内角和与直角三角形性质得出∠A=60°，结合三角形内角和得到∠2与∠ADE的和为120°；再利用等边△DEF的性质，推出∠1与∠ADE的和也为120°，从而证得∠1=∠2。
(2) 求AB长度时，通过作辅助线DH⊥AB构造全等三角形，利用全等性质得到线段长度，再结合直角三角形30°角的性质和AB与AC的关系列方程，求解后计算AB的长。
【解析】
(1) 证明：过点D作$DH⊥AB$于点H，则$∠DHE=∠C=90°$。
在$△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=30°$，
∴$∠A=180°-90°-30°=60°$，且$AB=2AC$。
在$△ADE$中，$∠A=60°$，
∴$∠2+∠ADE=180°-∠A=120°$。
∵$△DEF$是等边三角形，
∴$DE=DF$，$∠EDF=60°$，
∴$∠1+∠ADE=180°-∠EDF=180°-60°=120°$，
∴$∠1=∠2$。
(2) 解：在$△DHE$和$△FCD$中，
$\begin{cases}∠DHE=∠C, \\∠2=∠1, \\DE=FD,\end{cases}$
∴$△DHE≌△FCD$（AAS），
∴$HE=CD=5$，
∴$HB=HE+BE=5+8=13$。
设$AH=x$，在$Rt△ADH$中，$∠A=60°$，
∴$∠ADH=30°$，
∴$AD=2AH=2x$，
∴$AC=CD+AD=5+2x$。
又
∵$AB=2AC$，且$AB=AH+HB=x+13$，
∴$x+13=2(5+2x)$，
解得$x=1$，
∴$AB=1+13=14$。
【答案】
10. (1) 证明见上述解析；(2) AB的长为14。
【知识点】
直角三角形性质、等边三角形性质、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查几何图形的性质与全等三角形的应用，需通过作辅助线构造全等关系，结合方程思想求解，注重学生逻辑推理与综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.5

11 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD$ 是边 $BC$ 上的中线,且 $BD=BE$,$CD$ 的垂直平分线$MF$交$AC$于点$F$,交$BC$于点$M$,$MF=2$,连接 $DE,DF$.
(1) 求$∠ ADE$的度数;
(2) 求证:$△ ADF$ 是等边三角形;
(3) 求 $AB$ 的长.

11. (1) $\because AB=AC,∠ BAC=120°,\therefore ∠ B=∠ C=\dfrac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=30°. \because BD=BE,\therefore ∠ BDE=∠ BED=\dfrac{1}{2}×(180°-∠ B)=75°. \because AB=AC,AD$ 是边 $BC$ 上的中线,
$\therefore AD⊥ BC. \therefore ∠ ADB=90°. \therefore ∠ ADE=∠ ADB-∠ BDE=15°$ (2) $\because MF$ 垂直平分 $CD,\therefore DF=CF. \because ∠ C=30°,$
$\therefore ∠ FDC=∠ C=30°. \therefore ∠ AFD=∠ C+∠ FDC=60°.$ 由(1),知 $AD⊥ BC,\therefore ∠ ADC=90°. \therefore ∠ DAF=90°-∠ C=60°,$
$∠ ADF=90°-∠ FDC=60°. \therefore ∠ DAF=∠ AFD=∠ ADF=60°. \therefore △ ADF$ 是等边三角形 (3) $\because MF$ 垂直平分 $CD,$
$\therefore ∠ FMC=90°,DF=CF. \because ∠ C=30°,MF=2,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ FMC$ 中,$CF=2MF=4. \therefore DF=CF=4. \because △ ADF$ 是等边三角形,$\therefore AF=DF=4. \because AC=AF+CF=8,\therefore AB=AC=8$

【分析】
要解决这道几何综合题，需结合等腰三角形、垂直平分线、等边三角形及直角三角形的性质逐步推导：
1. 第(1)问：先利用等腰△ABC的内角和算出∠B，再由BD=BE得△BDE的底角，结合等腰三角形三线合一（AD是中线）得AD⊥BC，最终通过角的差求出∠ADE。
2. 第(2)问：利用CD的垂直平分线性质得DF=CF，算出∠AFD，再结合AD⊥BC的条件，推出△ADF的三个内角均为60°，从而证明其为等边三角形。
3. 第(3)问：在含30°角的Rt△FMC中，利用直角三角形性质算出CF，再由等边△ADF得AF，进而求出AC，结合AB=AC得到AB的长度。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=½×(180°−120°)=30°。
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=∠BED=½×(180°−30°)=75°。
∵ AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°。
∴ ∠ADE=∠ADB−∠BDE=90°−75°=15°。
(2)
∵ MF垂直平分CD，
∴ DF=CF，∠FMC=90°。
∴ ∠FDC=∠C=30°，
∴ ∠AFD=∠C+∠FDC=30°+30°=60°。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠DAF=90°−∠C=90°−30°=60°，
∠ADF=90°−∠FDC=90°−30°=60°。
∴ ∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，
∴ △ADF是等边三角形。
(3) 在Rt△FMC中，∠C=30°，MF=2，
∴ CF=2MF=2×2=4（直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半）。
∵ DF=CF，
∴ DF=4。
∵ △ADF是等边三角形，
∴ AF=DF=4，
∴ AC=AF+CF=4+4=8。
又
∵ AB=AC，
∴ AB=8。
【答案】
(1) 15°；(2) △ADF是等边三角形；(3) 8
【知识点】
等腰三角形性质，垂直平分线性质，等边三角形判定
【点评】
本题是几何综合题，综合考查多个几何核心性质，需逐步推导角的关系，逻辑清晰，侧重基础性质的应用，是常见的几何题型。
【难度系数】
0.5