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16 已知$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2y}=3$,则$\dfrac{x-2xy-2y}{3x+5xy-6y}$的值是（
A.$\dfrac{8}{13}$
B.$\dfrac{13}{8}$
C.$-\dfrac{8}{13}$
D.$-\dfrac{13}{8}$
A
）A.$\dfrac{8}{13}$
B.$\dfrac{13}{8}$
C.$-\dfrac{8}{13}$
D.$-\dfrac{13}{8}$
答案
16. A
解析
【分析】
本题给出了关于$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{y}$的等式，要求的分式是含$x$、$y$、$xy$的形式。解题思路是：先将已知等式变形得到$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=6$；再把所求分式的分子、分母同时除以$xy$（因原式含$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$，故$x≠0$，$y≠0$，$xy≠0$，可做除法），将分式转化为含有$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{y}$的形式，最后用变形后的已知等式代入计算即可。
【解析】
已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=3$，等式两边同乘$2$得：
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=6$。
因为$x≠0$，$y≠0$，所以$xy≠0$，将所求分式$\frac{x-2xy-2y}{3x+5xy-6y}$的分子、分母同时除以$xy$：
分子：$\frac{x-2xy-2y}{xy}=\frac{x}{xy}-\frac{2xy}{xy}-\frac{2y}{xy}=\frac{1}{y}-2-\frac{2}{x}=-2+(\frac{1}{y}-\frac{2}{x})$；
分母：$\frac{3x+5xy-6y}{xy}=\frac{3x}{xy}+\frac{5xy}{xy}-\frac{6y}{xy}=\frac{3}{y}+5-\frac{6}{x}=5+(\frac{3}{y}-\frac{6}{x})$。
由$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=6$，可得：
$\frac{1}{y}-\frac{2}{x}=-(\frac{2}{x}-\frac{1}{y})=-6$，
$\frac{3}{y}-\frac{6}{x}=3×(\frac{1}{y}-\frac{2}{x})=3×(-6)=-18$。
代入分子和分母：
分子：$-2 + (-6) = -8$，
分母：$5 + (-18) = -13$，
所以原式$=\frac{-8}{-13}=\frac{8}{13}$。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值，代数式变形
【点评】
本题运用整体代入思想，通过变形已知条件简化分式计算，避免了单独求解$x$、$y$的值，是分式求值的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
本题给出了关于$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{y}$的等式，要求的分式是含$x$、$y$、$xy$的形式。解题思路是：先将已知等式变形得到$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=6$；再把所求分式的分子、分母同时除以$xy$（因原式含$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$，故$x≠0$，$y≠0$，$xy≠0$，可做除法），将分式转化为含有$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{y}$的形式，最后用变形后的已知等式代入计算即可。
【解析】
已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=3$，等式两边同乘$2$得：
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=6$。
因为$x≠0$，$y≠0$，所以$xy≠0$，将所求分式$\frac{x-2xy-2y}{3x+5xy-6y}$的分子、分母同时除以$xy$：
分子：$\frac{x-2xy-2y}{xy}=\frac{x}{xy}-\frac{2xy}{xy}-\frac{2y}{xy}=\frac{1}{y}-2-\frac{2}{x}=-2+(\frac{1}{y}-\frac{2}{x})$；
分母：$\frac{3x+5xy-6y}{xy}=\frac{3x}{xy}+\frac{5xy}{xy}-\frac{6y}{xy}=\frac{3}{y}+5-\frac{6}{x}=5+(\frac{3}{y}-\frac{6}{x})$。
由$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=6$，可得：
$\frac{1}{y}-\frac{2}{x}=-(\frac{2}{x}-\frac{1}{y})=-6$，
$\frac{3}{y}-\frac{6}{x}=3×(\frac{1}{y}-\frac{2}{x})=3×(-6)=-18$。
代入分子和分母：
分子：$-2 + (-6) = -8$，
分母：$5 + (-18) = -13$，
所以原式$=\frac{-8}{-13}=\frac{8}{13}$。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值，代数式变形
【点评】
本题运用整体代入思想，通过变形已知条件简化分式计算，避免了单独求解$x$、$y$的值，是分式求值的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
17 计算：
(1) $\dfrac{6ab}{5c^{2}}· \dfrac{15c}{4a^{2}b}=$
(2) $(\dfrac{x}{2y})^{2}÷ \dfrac{2x}{y^{2}}=$
(1) $\dfrac{6ab}{5c^{2}}· \dfrac{15c}{4a^{2}b}=$
$\dfrac{9}{2ac}$
；(2) $(\dfrac{x}{2y})^{2}÷ \dfrac{2x}{y^{2}}=$
$\dfrac{x}{8}$
.答案
17. (1) $\dfrac{9}{2ac}$ (2) $\dfrac{x}{8}$
解析
【分析】
这是分式的乘除运算题，解题思路：（1）分式乘法需按“分子相乘作分子，分母相乘作分母”计算，再约去分子分母的公因式化简；（2）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分得到结果。
【解析】
（1）根据分式乘法法则：
$\dfrac{6ab}{5c^{2}}· \dfrac{15c}{4a^{2}b} = \dfrac{6ab·15c}{5c^{2}·4a^{2}b}$
约去公因式$2abc$，化简得：$\dfrac{90}{20ac} = \dfrac{9}{2ac}$；
（2）先算分式乘方，再将除法转化为乘法：
$(\dfrac{x}{2y})^{2}÷ \dfrac{2x}{y^{2}} = \dfrac{x^{2}}{4y^{2}} ÷ \dfrac{2x}{y^{2}} = \dfrac{x^{2}}{4y^{2}} × \dfrac{y^{2}}{2x}$
约去公因式$xy^2$，化简得：$\dfrac{x}{8}$；
【答案】
(1) $\dfrac{9}{2ac}$；(2) $\dfrac{x}{8}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的乘方运算
【点评】
本题考查分式的基础运算，核心是掌握分式乘方、乘除的运算法则，准确约分即可求解，属于分式运算的重点基础题型。
【难度系数】
0.6
这是分式的乘除运算题，解题思路：（1）分式乘法需按“分子相乘作分子，分母相乘作分母”计算，再约去分子分母的公因式化简；（2）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分得到结果。
【解析】
（1）根据分式乘法法则：
$\dfrac{6ab}{5c^{2}}· \dfrac{15c}{4a^{2}b} = \dfrac{6ab·15c}{5c^{2}·4a^{2}b}$
约去公因式$2abc$，化简得：$\dfrac{90}{20ac} = \dfrac{9}{2ac}$；
（2）先算分式乘方，再将除法转化为乘法：
$(\dfrac{x}{2y})^{2}÷ \dfrac{2x}{y^{2}} = \dfrac{x^{2}}{4y^{2}} ÷ \dfrac{2x}{y^{2}} = \dfrac{x^{2}}{4y^{2}} × \dfrac{y^{2}}{2x}$
约去公因式$xy^2$，化简得：$\dfrac{x}{8}$；
【答案】
(1) $\dfrac{9}{2ac}$；(2) $\dfrac{x}{8}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的乘方运算
【点评】
本题考查分式的基础运算，核心是掌握分式乘方、乘除的运算法则，准确约分即可求解，属于分式运算的重点基础题型。
【难度系数】
0.6
18 [2025 如皋模拟]已知关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x+a}{x-2}=-3$ 的解大于 1,则 $a$ 的取值范围是
$a＜2$且$a≠-2$
.答案
18. $a＜2$ 且 $a≠-2$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先解分式方程得到用$a$表示的解，再根据“解大于1”和“分式方程分母不为0（即解不能使分母为0）”两个条件，列出不等式求解$a$的范围。
【解析】
解：原方程为分式方程，去分母（两边同乘最简公分母$x-2$，注意$x≠2$）得：
$x+a = -3(x-2)$
展开右边：$x+a = -3x +6$
移项合并同类项：$x +3x =6 -a$，即$4x=6 -a$
解得：$x=\frac{6 -a}{4}$
根据题意，方程的解大于1，因此：
$\frac{6 -a}{4} ＞1$
解此不等式：
$6 -a ＞4$
$-a ＞ -2$
$a ＜2$
又因为分式方程分母不能为0，即$x≠2$，所以：
$\frac{6 -a}{4}≠2$
解得：$6 -a≠8$，即$a≠-2$
综上，$a$的取值范围是$a＜2$且$a≠-2$。
【答案】
$a＜2$且$a≠-2$
【知识点】
分式方程的解，一元一次不等式
【点评】
本题考查分式方程解的应用，关键是要注意分式方程的隐含条件：分母不为0，避免忽略增根情况导致漏解，属于易错题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先解分式方程得到用$a$表示的解，再根据“解大于1”和“分式方程分母不为0（即解不能使分母为0）”两个条件，列出不等式求解$a$的范围。
【解析】
解：原方程为分式方程，去分母（两边同乘最简公分母$x-2$，注意$x≠2$）得：
$x+a = -3(x-2)$
展开右边：$x+a = -3x +6$
移项合并同类项：$x +3x =6 -a$，即$4x=6 -a$
解得：$x=\frac{6 -a}{4}$
根据题意，方程的解大于1，因此：
$\frac{6 -a}{4} ＞1$
解此不等式：
$6 -a ＞4$
$-a ＞ -2$
$a ＜2$
又因为分式方程分母不能为0，即$x≠2$，所以：
$\frac{6 -a}{4}≠2$
解得：$6 -a≠8$，即$a≠-2$
综上，$a$的取值范围是$a＜2$且$a≠-2$。
【答案】
$a＜2$且$a≠-2$
【知识点】
分式方程的解，一元一次不等式
【点评】
本题考查分式方程解的应用，关键是要注意分式方程的隐含条件：分母不为0，避免忽略增根情况导致漏解，属于易错题。
【难度系数】
0.5
19 计算：
(1)
(2) $[2025 陕西](1-\dfrac{1}{x+2})÷ \dfrac{x+1}{x^{2}+4x+4}.$
(1)
(2) $[2025 陕西](1-\dfrac{1}{x+2})÷ \dfrac{x+1}{x^{2}+4x+4}.$
答案
19. (1) 1 (2) $x+2$
解析
【分析】
分式混合运算需遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的顺序，运算前先对分子、分母因式分解，通过约分简化计算，最后通分完成加减运算。第(1)题先处理乘法部分，因式分解后约分，再计算减法；第(2)题先算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可。
【解析】
(1) 原式 $=\frac{a(a+2)}{a} · \frac{a}{(a+2)(a-2)} - \frac{2}{a-2}$
约分乘法项：$\frac{a(a+2)}{a}=a+2$，则乘法部分化简为 $\frac{a}{a-2}$
计算减法：$\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a-2}=\frac{a-2}{a-2}=1$
(2) 原式 $=(\frac{x+2}{x+2}-\frac{1}{x+2})÷\frac{x+1}{(x+2)^2}$
算括号内：$\frac{x+2-1}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}$
转化除法为乘法：$\frac{x+1}{x+2}·\frac{(x+2)^2}{x+1}$
约分后得：$x+2$
【答案】
(1) $1$；(2) $x+2$
【知识点】
分式混合运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，核心是因式分解和约分、通分的应用，运算时需注意运算顺序，结果要化为最简形式，属于基础运算题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
分式混合运算需遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的顺序，运算前先对分子、分母因式分解，通过约分简化计算，最后通分完成加减运算。第(1)题先处理乘法部分，因式分解后约分，再计算减法；第(2)题先算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可。
【解析】
(1) 原式 $=\frac{a(a+2)}{a} · \frac{a}{(a+2)(a-2)} - \frac{2}{a-2}$
约分乘法项：$\frac{a(a+2)}{a}=a+2$，则乘法部分化简为 $\frac{a}{a-2}$
计算减法：$\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a-2}=\frac{a-2}{a-2}=1$
(2) 原式 $=(\frac{x+2}{x+2}-\frac{1}{x+2})÷\frac{x+1}{(x+2)^2}$
算括号内：$\frac{x+2-1}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}$
转化除法为乘法：$\frac{x+1}{x+2}·\frac{(x+2)^2}{x+1}$
约分后得：$x+2$
【答案】
(1) $1$；(2) $x+2$
【知识点】
分式混合运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，核心是因式分解和约分、通分的应用，运算时需注意运算顺序，结果要化为最简形式，属于基础运算题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
20 儿童节将至,张老板计划购买 A 型玩具和 B 型玩具进行销售.已知用 1 200 元购买A 型玩具的数量比用 1 500 元购买 B 型玩具的数量多 20 个,且一个 B 型玩具的进价是一个 A 型玩具进价的1.5 倍.
(1) 求一个 A 型玩具和一个 B 型玩具的进价分别是多少;
(2) 若一个 A 型玩具的售价为 12 元,一个 B 型玩具的售价为 20 元,张老板购买 A 型和 B 型玩具共 75 个,要使总利润不低于 300 元,则最多购买 A 型玩具多少个?
(1) 求一个 A 型玩具和一个 B 型玩具的进价分别是多少;
(2) 若一个 A 型玩具的售价为 12 元,一个 B 型玩具的售价为 20 元,张老板购买 A 型和 B 型玩具共 75 个,要使总利润不低于 300 元,则最多购买 A 型玩具多少个?
答案
20. (1) 设一个A型玩具的进价是$x$元,则一个B型玩具的进价是$1.5x$元. 由题意,得$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{1500}{1.5x}=20$,解得$x=10$. 经检验,$x=10$是原分式方程的解,且符合题意. $1.5x=15$. $\therefore$ 一个A型玩具的进价是10元,一个B型玩具的进价是15元 (2) 设购买A型玩具$m$个,则购买B型玩具$(75-m)$个. 根据题意,得$(12-10)m+(20-15)(75-m)≥300$,解得$m≤25$. $\therefore$ 最多购买A型玩具25个
解析
【分析】
本题分两小问，第一问是求两种玩具的进价，属于分式方程的实际应用。解题思路：根据“B型玩具进价是A型的1.5倍”设未知数，再利用“1200元买A型的数量比1500元买B型的多20个”这一数量关系列分式方程，解后需检验解的合理性；第二问是利润最值问题，属于一元一次不等式的应用，解题思路：设购买A型玩具的数量，根据总利润不低于300元，结合单个利润×数量=总利润，列出一元一次不等式，求解不等式得到A型玩具数量的最大值。
【解析】
(1) 设一个A型玩具的进价是$x$元，则一个B型玩具的进价是$1.5x$元。
根据题意，A型玩具数量为$\frac{1200}{x}$个，B型玩具数量为$\frac{1500}{1.5x}$个，两者数量差为20个，可列方程：
$\frac{1200}{x} - \frac{1500}{1.5x} = 20$
解方程：
化简$\frac{1500}{1.5x} = \frac{1000}{x}$，则方程变为$\frac{1200}{x} - \frac{1000}{x} = 20$，即$\frac{200}{x}=20$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则B型玩具进价为$1.5×10=15$元。
(2) 设购买A型玩具$m$个，则购买B型玩具$(75 - m)$个。
单个A型玩具利润为$12 - 10=2$元，单个B型玩具利润为$20 -15=5$元，总利润不低于300元，可列不等式：
$2m +5(75 - m) ≥ 300$
解不等式：
$2m + 375 -5m ≥300$
$-3m ≥ -75$
两边同时除以负数，不等号方向改变，得$m ≤25$。
【答案】
(1) 一个A型玩具的进价是10元，一个B型玩具的进价是15元；(2) 最多购买A型玩具25个。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际销售问题，考查分式方程和一元一次不等式的应用，需注意分式方程解后要检验，不等式求解时不等号方向的变化，同时要结合实际意义确定结果的合理性，整体难度适中，是常见的应用题类型。
【难度系数】
0.6
本题分两小问，第一问是求两种玩具的进价，属于分式方程的实际应用。解题思路：根据“B型玩具进价是A型的1.5倍”设未知数，再利用“1200元买A型的数量比1500元买B型的多20个”这一数量关系列分式方程，解后需检验解的合理性；第二问是利润最值问题，属于一元一次不等式的应用，解题思路：设购买A型玩具的数量，根据总利润不低于300元，结合单个利润×数量=总利润，列出一元一次不等式，求解不等式得到A型玩具数量的最大值。
【解析】
(1) 设一个A型玩具的进价是$x$元，则一个B型玩具的进价是$1.5x$元。
根据题意，A型玩具数量为$\frac{1200}{x}$个，B型玩具数量为$\frac{1500}{1.5x}$个，两者数量差为20个，可列方程：
$\frac{1200}{x} - \frac{1500}{1.5x} = 20$
解方程：
化简$\frac{1500}{1.5x} = \frac{1000}{x}$，则方程变为$\frac{1200}{x} - \frac{1000}{x} = 20$，即$\frac{200}{x}=20$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则B型玩具进价为$1.5×10=15$元。
(2) 设购买A型玩具$m$个，则购买B型玩具$(75 - m)$个。
单个A型玩具利润为$12 - 10=2$元，单个B型玩具利润为$20 -15=5$元，总利润不低于300元，可列不等式：
$2m +5(75 - m) ≥ 300$
解不等式：
$2m + 375 -5m ≥300$
$-3m ≥ -75$
两边同时除以负数，不等号方向改变，得$m ≤25$。
【答案】
(1) 一个A型玩具的进价是10元，一个B型玩具的进价是15元；(2) 最多购买A型玩具25个。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际销售问题，考查分式方程和一元一次不等式的应用，需注意分式方程解后要检验，不等式求解时不等号方向的变化，同时要结合实际意义确定结果的合理性，整体难度适中，是常见的应用题类型。
【难度系数】
0.6
