8 当$x=6$,$y=3$时,$(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{2y}{x+y})·\dfrac{3xy}{x+2y}$的值是（）

A.2
B.3
C.6
D.9

8. C

【分析】本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内同分母分式的加法，再与后续分式进行乘法运算，通过约分简化式子，最后代入x、y的值计算结果，这样能减少计算量，降低出错概率。
【解析】解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{2y}{x+y})·\dfrac{3xy}{x+2y}\\=&\dfrac{x+2y}{x+y}·\dfrac{3xy}{x+2y}\\=&\dfrac{3xy}{x+y}\end{aligned}$
将$x=6$，$y=3$代入化简后的式子：
$\dfrac{3×6×3}{6+3}=\dfrac{54}{9}=6$
【答案】C
【知识点】分式化简求值；同分母分式加法；分式乘法
【点评】本题属于分式运算的基础题型，核心是先化简再代入求值，通过约分简化计算过程，考查学生对分式运算法则的掌握程度，难度较低。
【难度系数】0.8

9 计算：$\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x+y}(\dfrac{x+y}{2x}-x-y)=$.

9. 1 【解析】原式$=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x+y}[\dfrac{x+y}{2x}-(x+y)]=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{2x}+1=1$.

【分析】
本题是分式的混合运算，解题思路是利用乘法分配律简化括号内的运算，避免直接通分的复杂计算。先将括号内的$-x-y$转化为$-(x+y)$，再运用乘法分配律把$\frac{1}{x+y}$分别乘括号内的两项，最后合并同类项即可快速得出结果。
【解析】
原式$=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x+y}[\dfrac{x+y}{2x}-(x+y)]$
$=\dfrac{1}{2x}-(\dfrac{1}{x+y}·\dfrac{x+y}{2x}-\dfrac{1}{x+y}·(x+y))$
$=\dfrac{1}{2x}-(\dfrac{1}{2x}-1)$
$=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{2x}+1$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算、乘法分配律
【点评】
本题考查分式的混合运算，核心是灵活运用乘法分配律简化运算，避免繁琐通分，属于基础运算题，重点考察学生对分式运算规则的掌握程度。
【难度系数】
0.6

10 (易错题) 化简：$\dfrac{9}{a+1}÷(\dfrac{2}{a-1}+\dfrac{a-2}{a^{2}-1})=$.

10. $\dfrac{3a-3}{a}$
易错分析：误用分配律致错.

【分析】本题是分式的混合运算题，解题思路为：先利用平方差公式分解括号内的分母，再对括号内的异分母分式通分合并，接着将除法转化为乘法，最后通过约分得到最简结果。需注意除法没有分配律，不能直接对括号内的项用分配律，这是本题的易错点。
【解析】解：原式$=\dfrac{9}{a+1}÷(\dfrac{2}{a-1}+\dfrac{a-2}{(a+1)(a-1)})$
通分括号内的分式，公分母为$(a+1)(a-1)$：
$=\dfrac{9}{a+1}÷(\dfrac{2(a+1)}{(a+1)(a-1)}+\dfrac{a-2}{(a+1)(a-1)})$
合并括号内的分子：
$=\dfrac{9}{a+1}÷\dfrac{2a+2+a-2}{(a+1)(a-1)}$
化简分子：
$=\dfrac{9}{a+1}÷\dfrac{3a}{(a+1)(a-1)}$
将除法转化为乘法：
$=\dfrac{9}{a+1}×\dfrac{(a+1)(a-1)}{3a}$
约分后得到：
$=\dfrac{3(a-1)}{a}=\dfrac{3a-3}{a}$
【答案】$\dfrac{3a-3}{a}$
【知识点】分式的混合运算、通分约分
【点评】本题为易错题，易错点是误用除法分配律，直接将$\dfrac{9}{a+1}$分配给括号内的两项导致计算错误。解题时需严格遵循运算顺序，先算括号内的分式加法，再进行除法运算，注意分式通分和约分的规则。
【难度系数】0.5

11 (1) 计算: $\dfrac{x^{2}-2x+1}{x+2} ÷ (2-x-\dfrac{3}{x+2})$;
(2) [2025 福建]先化简, 再求值: $(2+\dfrac{1-a}{a}) ÷ \dfrac{a^{2}+2a+1}{a}$, 其中 $a=\sqrt{5}-1$.

11. (1) $\dfrac{1-x}{x+1}$
(2) 原式$=(\dfrac{2a}{a}+\dfrac{1-a}{a}) ÷ \dfrac{(a+1)^2}{a} = \dfrac{a+1}{a} · \dfrac{a}{(a+1)^2} = \dfrac{1}{a+1}$. 当$a=\sqrt{5}-1$时,原式$=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1+1}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

【分析】
本题考查分式的混合运算与化简求值，解题思路：(1)先计算括号内的分式加减，通分后合并分子，再将分子、分母因式分解，把除法转化为乘法，通过约分得到结果；(2)先对括号内的分式通分合并，再分解因式，将除法转化为乘法约分，最后代入a的值计算结果，运算中需注意符号处理和因式分解的正确性。
【解析】
(1) 原式 = $\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} ÷ (2 - x - \dfrac{3}{x + 2})$
先处理括号内的部分，通分：
$2 - x - \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{2(x + 2) - x(x + 2) - 3}{x + 2} = \dfrac{2x + 4 - x^2 - 2x - 3}{x + 2} = \dfrac{1 - x^2}{x + 2}$
分子因式分解：$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$，$x^2 - 2x +1 = (x -1)^2 = (1 - x)^2$
则原式 = $\dfrac{(1 - x)^2}{x + 2} ÷ \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{x + 2} = \dfrac{(1 - x)^2}{x + 2} × \dfrac{x + 2}{(1 - x)(1 + x)} = \dfrac{1 - x}{x + 1}$
(2) 原式 = $(2 + \dfrac{1 - a}{a}) ÷ \dfrac{a^2 + 2a + 1}{a}$
先通分计算括号内：
$2 + \dfrac{1 - a}{a} = \dfrac{2a}{a} + \dfrac{1 - a}{a} = \dfrac{2a + 1 - a}{a} = \dfrac{a + 1}{a}$
分解因式：$a^2 + 2a +1 = (a +1)^2$
则原式 = $\dfrac{a +1}{a} ÷ \dfrac{(a +1)^2}{a} = \dfrac{a +1}{a} × \dfrac{a}{(a +1)^2} = \dfrac{1}{a +1}$
当$a = \sqrt{5} -1$时，代入得：$\dfrac{1}{(\sqrt{5} -1) +1} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
【答案】
(1) $\dfrac{1 - x}{x + 1}$；(2) $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
【知识点】
分式的混合运算、分式的化简求值
【点评】
本题为分式运算的基础题型，重点考查分式通分、因式分解和约分的运算能力，运算时需注意符号的处理（如$(x-1)^2=(1-x)^2$），以及除法转化为乘法时的分子分母颠倒，整体难度不大，是分式章节的核心基础题。
【难度系数】
0.6

12 (易错题)[2025 如东期末改编]先化简,再求值:$(1-\dfrac{2}{x+1})÷ \dfrac{x^{2}-2x+1}{x+1}$,其中$x$从$-1$,$0$,$1$中选一个合适的数代入求值.

12. $(1-\dfrac{2}{x+1}) ÷ \dfrac{x^2-2x+1}{x+1} = \dfrac{x+1-2}{x+1} · \dfrac{x+1}{(x-1)^2} = \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{x+1}{(x-1)^2} = \dfrac{1}{x-1}$.
$\because x+1≠0$且$x-1≠0$,$\therefore x≠-1$且$x≠1$.
$\therefore x$只能取0. 当$x=0$时,原式$=\dfrac{1}{0-1}=-1$
易错分析：分式化简求值时忽视字母的取值范围而致错.

【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：①先计算括号内的分式减法，通分后合并分子；②将除法转化为乘法，同时对分子分母的多项式因式分解；③约分得到最简分式；④根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）确定x的取值，排除使原式无意义的x值；⑤将合适的x代入最简分式计算结果。
【解析】
1. 化简括号内的分式：
$1 - \frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{2}{x+1} = \frac{x+1 - 2}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$
2. 转化除法为乘法并因式分解：
$\frac{x-1}{x+1} ÷ \frac{x^2 - 2x +1}{x+1} = \frac{x-1}{x+1} × \frac{x+1}{(x-1)^2}$
3. 约分得到最简分式：
$\frac{x-1}{x+1} × \frac{x+1}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1}$
4. 确定x的取值：
要使原式有意义，需满足$x+1≠0$且$x-1≠0$，即$x≠-1$且$x≠1$，因此只能选取$x=0$。
5. 代入求值：
当$x=0$时，原式$=\frac{1}{0-1}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
分式的化简求值，分式有意义的条件
【点评】
本题为易错题，核心考查分式化简求值的方法，易错点是忽略分式有意义的条件，错误选取使原式无意义的x值，需注意化简后先确定字母的有效取值范围，再代入计算。
【难度系数】
0.5

13 新情境 现实生活 有甲、乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料售价分别为 $m$ 元/kg 和 $n$ 元/kg，且 $m ≠ n$，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买$1\ 000\ \mathrm{kg}$，乙每次用去 800 元，而不管购买多少千克的饲料.
(1) 甲、乙两次购买饲料的平均售价各是多少(用含有字母 $m,n$ 的式子表示)?
(2) 谁的购买方式较合算?

13. (1) 根据题意,得甲两次购买饲料的平均售价是$\dfrac{1000(m+n)}{1000×2}=\dfrac{m+n}{2}$(元/kg),乙两次购买饲料的平均售价是$\dfrac{800+800}{\dfrac{800}{m}+\dfrac{800}{n}}=\dfrac{2mn}{m+n}$(元/kg)
(2) 甲、乙两次购买饲料的平均售价的差是$\dfrac{m+n}{2}-\dfrac{2mn}{m+n}=\dfrac{m^2+2mn+n^2-4mn}{2(m+n)}=\dfrac{(m-n)^2}{2(m+n)}$(元/kg).
$\because m,n$为正数,且$m≠n$,$\therefore \dfrac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$.$\therefore \dfrac{m+n}{2}＞\dfrac{2mn}{m+n}$.
$\therefore$ 乙的购买方式较合算

【分析】
要解决这个问题，首先明确平均售价的计算公式为“总花费÷总购买重量”。对于甲，两次购买的重量固定，总花费为两次购买的费用之和；对于乙，两次花费固定，总重量为两次购买的重量之和，据此可分别求出两人的平均售价。比较谁的购买方式更合算，需通过作差法比较两个平均售价的大小，结合m、n的取值范围判断差的正负，进而得出结论。
【解析】
(1) 甲两次购买饲料的总重量为 $1000 × 2 = 2000\ \mathrm{kg}$，总花费为 $1000m + 1000n$ 元，因此甲的平均售价为：
$\dfrac{1000(m + n)}{2000} = \dfrac{m + n}{2}$（元/kg）；
乙两次购买饲料的总花费为 $800 × 2 = 1600$ 元，总重量为 $\dfrac{800}{m} + \dfrac{800}{n}\ \mathrm{kg}$，因此乙的平均售价为：
$\dfrac{1600}{\dfrac{800}{m} + \dfrac{800}{n}} = \dfrac{2mn}{m + n}$（元/kg）。
(2) 计算甲、乙平均售价的差：
$\dfrac{m + n}{2} - \dfrac{2mn}{m + n} = \dfrac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \dfrac{(m - n)^2}{2(m + n)}$。
因为m、n为正数，且 $m ≠ n$，所以 $(m - n)^2 ＞ 0$，$2(m + n) ＞ 0$，因此 $\dfrac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即 $\dfrac{m + n}{2} ＞ \dfrac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均售价更低，购买方式更合算。
【答案】
(1) 甲两次购买饲料的平均售价是 $\dfrac{m + n}{2}$ 元/kg，乙两次购买饲料的平均售价是 $\dfrac{2mn}{m + n}$ 元/kg；
(2) 乙的购买方式较合算。
【知识点】
分式的运算、代数式的大小比较（作差法）
【点评】
本题结合实际采购场景，考查分式的应用和代数式大小的比较，核心是正确理解平均售价的计算逻辑，掌握作差法比较代数式大小的方法，是代数知识在生活中的典型应用，难度适中。
【难度系数】
0.6