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1. 如图1,以正方形ABCD的边AD为一边,在正方形内部作等边三角形ADE,连接BE,则∠EBC的度数为 （
A.$25°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$
B
）A.$25°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$
答案
1.B
2. 正方形具有而矩形不具有的性质是（
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分且相等
C
）A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分且相等
答案
2.C
3. 下列四个条件:①$∠ ABC=90°$;②$AC ⊥ BD$;③$AB=BC$;④$AC=BD$,从中选两个作为补充条件,使$□ ABCD$为正方形.
下列四种选法中,错误的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
下列四种选法中,错误的是（
C
）A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
答案
3.C
4. 用四根长度相等的木条制作学具，先制作如图 2①所示的正方形ABCD，测得BD=10 cm，活动学具成如图 2②所示的四边形ABCD，测得∠A=120°，则图 2②中BD的长是
5√6 cm
.答案
4. 5√6 cm
5. 如图 3,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点B在x轴上,顶点C在y轴上,且$C(0,-2),D(b,-1)$,则b的值是
2
.答案
5. 2
6. 如图 4, 正方形 ABCD 的边长为$\sqrt{2}$, 连接AC, BD. 若 CE 平分$∠ACD$交 BD 于点E, 则 DE 的长是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
6. 2−√2
二、综合应用
7. 如图 5, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ABC=90°,AB=BC=1$ ,点 D 是与点 B 不重合的动点, 以 BD 为一边作正方形 BDEF. 若连接 EC,FC, 则 BD+EC+FC 的最小值为 ______ .
7. 如图 5, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ABC=90°,AB=BC=1$ ,点 D 是与点 B 不重合的动点, 以 BD 为一边作正方形 BDEF. 若连接 EC,FC, 则 BD+EC+FC 的最小值为 ______ .
答案
7. √2
8. 如图 6,在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,P 是 OB 上的一个动点,连接 CP,作 $PE ⊥ CP$,交 AB 的延长线于点 E,以 PC 和 PE 为邻边作$□ PEFC$.
(1)观察与猜想:$□ PEFC$是
(2)请验证你的猜想.
(1)观察与猜想:$□ PEFC$是
正方形
;(填“矩形”“菱形”或“正方形”)(2)请验证你的猜想.
答案
8.解:(1)正方形
(2)如图,过点P作PK⊥AB于点K,PH⊥BC于点H,
∴∠PHB=∠PKE=∠PHC=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
BD平分∠ABC,
∴四边形PHBK是矩形,
∴∠KPH=90°,
∴∠KPE+∠EPH=90°.
∵PE⊥CP,
∴∠HPC+∠EPH=90°,
∴∠KPE=∠HPC.
∵BD平分∠ABC,PK⊥AB,PH⊥BC,
∴PK=PH.
在△KPE和△HPC中,$\begin{cases}∠PKE=∠PHC,\\PK=PH,\\∠KPE=∠HPC,\end{cases}$
∴△KPE≌△HPC(ASA),
∴PE=PC.
∵四边形PEFC是平行四边形,且PE⊥CP,
∴平行四边形PEFC是矩形,
又
∵PC=PE,
∴矩形PEFC是正方形.
(2)如图,过点P作PK⊥AB于点K,PH⊥BC于点H,
∴∠PHB=∠PKE=∠PHC=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
BD平分∠ABC,
∴四边形PHBK是矩形,
∴∠KPH=90°,
∴∠KPE+∠EPH=90°.
∵PE⊥CP,
∴∠HPC+∠EPH=90°,
∴∠KPE=∠HPC.
∵BD平分∠ABC,PK⊥AB,PH⊥BC,
∴PK=PH.
在△KPE和△HPC中,$\begin{cases}∠PKE=∠PHC,\\PK=PH,\\∠KPE=∠HPC,\end{cases}$
∴△KPE≌△HPC(ASA),
∴PE=PC.
∵四边形PEFC是平行四边形,且PE⊥CP,
∴平行四边形PEFC是矩形,
又
∵PC=PE,
∴矩形PEFC是正方形.
