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一、基础过关
1. 下列选项中，与$\sqrt{3}$的乘积为有理数的是（
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{2}$
1. 下列选项中，与$\sqrt{3}$的乘积为有理数的是（
A
）A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{2}$
答案
1.A
2. $\sqrt{2}-1$ 的倒数为 （
A.$\sqrt{2}-1$
B.$1-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$-\sqrt{2}-1$
C
）A.$\sqrt{2}-1$
B.$1-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$-\sqrt{2}-1$
答案
2.C
3. 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数.若某矩形的长为$\sqrt{5}$，宽为$\sqrt{3}$，则这个矩形的面积在（
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
B
）A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
答案
3.B
4.下面是一位同学做的练习题,他的得分应是
（
A.4分
B.8分
C.12分
D.16分
（
B
）A.4分
B.8分
C.12分
D.16分
答案
4.B
5. 下列从左到右的变形中,正确的是
①$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$;②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$;
③$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$;④$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$.
③④
.(填序号)①$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$;②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$;
③$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$;④$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$.
答案
5.③④
6. 在表格中填上合适的数，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的乘积都是1.
答案
6.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\sqrt{6}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$(从左到右,从上到下)
7.若$x＞0,y＞0$，则$x\sqrt{xy}÷ y\sqrt{\dfrac{x}{y}}×\sqrt{\dfrac{y}{x}}=$
$\_\_\_\_\_\_.$
$\_\_\_\_\_\_.$
答案
7.$\sqrt{xy}$
8. 已知$\sqrt{7}=a,\sqrt{70}=b$,则$\sqrt{4.9}$用含$a,b$的代数式表示为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
8.$\dfrac{ab}{10}$
9. 为了化简$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}$，我们尝试找到两个数$m,n$使$m^2+n^2=a$且$mn=\sqrt{b}$，则可将$a\pm 2\sqrt{b}$化为$m^2+n^2\pm 2mn$，即$(m\pm n)^2$，从而使得$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}$化简。
例如：$5+2\sqrt{6}=3+2+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{3}×\sqrt{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$，
所以$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
请仿照上例化简下列根式：
(1)$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$；
(2)$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$。
例如：$5+2\sqrt{6}=3+2+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{3}×\sqrt{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$，
所以$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
请仿照上例化简下列根式：
(1)$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$；
(2)$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$。
答案
9.解:(1)$\because 4+2\sqrt{3}=1+3+2\sqrt{3}=1^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2$,
$\therefore \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$.
(2)$\because 7-2\sqrt{10}=5+2-2\sqrt{10}=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{5}×\sqrt{2}=(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$,
$\therefore \sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$.
$\therefore \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$.
(2)$\because 7-2\sqrt{10}=5+2-2\sqrt{10}=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{5}×\sqrt{2}=(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$,
$\therefore \sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$.
