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四、列式计算。
1. $1\frac{1}{4}$与$\frac{2}{3}$的差比它们的和少多少？
1. $1\frac{1}{4}$与$\frac{2}{3}$的差比它们的和少多少？
答案
1.少$1\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时首先明确数量关系：求“差比和少多少”，本质是用较大数（两数的和）减去较小数（两数的差）。解题可分三步：第一步先计算$1\frac{1}{4}$与$\frac{2}{3}$的和，第二步计算二者的差，第三步用和减去差得到最终结果；计算异分母分数加减时，要先通分化为同分母分数再计算，最终结果要化为最简分数。
【解析】
解：可列综合算式计算：
$\begin{aligned}&(1\frac{1}{4}+\frac{2}{3})-(1\frac{1}{4}-\frac{2}{3})\\=&1\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-1\frac{1}{4}+\frac{2}{3}\\=&\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\\=&\frac{4}{3}\\=&1\frac{1}{3}\end{aligned}$
也可分步计算：
1. 计算两数的和：$1\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{15}{12}+\frac{8}{12}=\frac{23}{12}$
2. 计算两数的差：$1\frac{1}{4}-\frac{2}{3}=\frac{15}{12}-\frac{8}{12}=\frac{7}{12}$
3. 求差比和少的量：$\frac{23}{12}-\frac{7}{12}=\frac{16}{12}=1\frac{1}{3}$
【答案】
$1\frac{1}{3}$
【知识点】
异分母分数加减、文字列式计算
【点评】
本题考查对文字题数量关系的理解和分数加减的计算能力，解题核心是明确“求A比B少多少”用B减A的计算逻辑，计算时注意通分正确，结果需约分为最简分数。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数量关系：求“差比和少多少”，本质是用较大数（两数的和）减去较小数（两数的差）。解题可分三步：第一步先计算$1\frac{1}{4}$与$\frac{2}{3}$的和，第二步计算二者的差，第三步用和减去差得到最终结果；计算异分母分数加减时，要先通分化为同分母分数再计算，最终结果要化为最简分数。
【解析】
解：可列综合算式计算：
$\begin{aligned}&(1\frac{1}{4}+\frac{2}{3})-(1\frac{1}{4}-\frac{2}{3})\\=&1\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-1\frac{1}{4}+\frac{2}{3}\\=&\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\\=&\frac{4}{3}\\=&1\frac{1}{3}\end{aligned}$
也可分步计算：
1. 计算两数的和：$1\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{15}{12}+\frac{8}{12}=\frac{23}{12}$
2. 计算两数的差：$1\frac{1}{4}-\frac{2}{3}=\frac{15}{12}-\frac{8}{12}=\frac{7}{12}$
3. 求差比和少的量：$\frac{23}{12}-\frac{7}{12}=\frac{16}{12}=1\frac{1}{3}$
【答案】
$1\frac{1}{3}$
【知识点】
异分母分数加减、文字列式计算
【点评】
本题考查对文字题数量关系的理解和分数加减的计算能力，解题核心是明确“求A比B少多少”用B减A的计算逻辑，计算时注意通分正确，结果需约分为最简分数。
【难度系数】
0.8
2. 一个数加上$\frac{1}{5}$，再减去$\frac{3}{10}$，结果是$\frac{3}{5}$，求这个数。
答案
2.这个数是$\frac{7}{10}$
解析
【分析】
这道题属于已知运算过程和最终结果，求初始数的问题，我们可以用逆推法思考：运算过程是原数先加$\frac{1}{5}$，再减$\frac{3}{10}$得到$\frac{3}{5}$，逆推时要把运算顺序反过来，运算符号也对应相反：先把最后一步减去的$\frac{3}{10}$加回去，再把第一步加上的$\frac{1}{5}$减掉，就能得到原来的数，也可以通过设未知数列方程求解，逻辑更直观。
【解析】
方法一：逆推法
从结果$\frac{3}{5}$反向计算：
1. 还原减去$\frac{3}{10}$的步骤：$\frac{3}{5}+\frac{3}{10}$，通分后计算得$\frac{6}{10}+\frac{3}{10}=\frac{9}{10}$
2. 还原加上$\frac{1}{5}$的步骤：$\frac{9}{10}-\frac{1}{5}$，通分后计算得$\frac{9}{10}-\frac{2}{10}=\frac{7}{10}$
方法二：列方程法
解：设这个数为$x$，根据题意列方程：
$x+\frac{1}{5}-\frac{3}{10}=\frac{3}{5}$
移项得$x=\frac{3}{5}+\frac{3}{10}-\frac{1}{5}$
通分计算得$x=\frac{6}{10}+\frac{3}{10}-\frac{2}{10}=\frac{7}{10}$
【答案】
这个数是$\frac{7}{10}$
【知识点】
分数加减运算、逆推法解题、列方程解应用题
【点评】
这道题考察分数加减法的计算能力和逻辑推导能力，不管用逆推法还是方程法，只要理清运算顺序，计算时注意异分母分数先通分再计算，就能准确得出结果，是分数运算的典型基础题。
【难度系数】
0.8
这道题属于已知运算过程和最终结果，求初始数的问题，我们可以用逆推法思考：运算过程是原数先加$\frac{1}{5}$，再减$\frac{3}{10}$得到$\frac{3}{5}$，逆推时要把运算顺序反过来，运算符号也对应相反：先把最后一步减去的$\frac{3}{10}$加回去，再把第一步加上的$\frac{1}{5}$减掉，就能得到原来的数，也可以通过设未知数列方程求解，逻辑更直观。
【解析】
方法一：逆推法
从结果$\frac{3}{5}$反向计算：
1. 还原减去$\frac{3}{10}$的步骤：$\frac{3}{5}+\frac{3}{10}$，通分后计算得$\frac{6}{10}+\frac{3}{10}=\frac{9}{10}$
2. 还原加上$\frac{1}{5}$的步骤：$\frac{9}{10}-\frac{1}{5}$，通分后计算得$\frac{9}{10}-\frac{2}{10}=\frac{7}{10}$
方法二：列方程法
解：设这个数为$x$，根据题意列方程：
$x+\frac{1}{5}-\frac{3}{10}=\frac{3}{5}$
移项得$x=\frac{3}{5}+\frac{3}{10}-\frac{1}{5}$
通分计算得$x=\frac{6}{10}+\frac{3}{10}-\frac{2}{10}=\frac{7}{10}$
【答案】
这个数是$\frac{7}{10}$
【知识点】
分数加减运算、逆推法解题、列方程解应用题
【点评】
这道题考察分数加减法的计算能力和逻辑推导能力，不管用逆推法还是方程法，只要理清运算顺序，计算时注意异分母分数先通分再计算，就能准确得出结果，是分数运算的典型基础题。
【难度系数】
0.8
五、解决问题。
德育小学在课后延时服务时间开展了丰富多彩的“素养课程”。下面是某班学生报名参加“素养课程”的情况。
①文艺课的人数占全班总人数的$\frac{1}{5}$。
②科技课的人数比文艺课的人数多
全班总人数的$\frac{1}{12}$。
③文艺课的人数比体育课的人数少占全班总人数的$\frac{4}{15}$。
参加文艺课和体育课的人数共占全班总人数的几分之几？解决这个问题，你选择的信息是(
德育小学在课后延时服务时间开展了丰富多彩的“素养课程”。下面是某班学生报名参加“素养课程”的情况。
①文艺课的人数占全班总人数的$\frac{1}{5}$。
②科技课的人数比文艺课的人数多
全班总人数的$\frac{1}{12}$。③文艺课的人数比体育课的人数少占全班总人数的$\frac{4}{15}$。
参加文艺课和体育课的人数共占全班总人数的几分之几？解决这个问题，你选择的信息是(
①③
)(多选，填序号)，并解答问题。答案
结果为$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要解决“参加文艺课和体育课的人数共占全班总人数的几分之几”的问题，首先需要获取两类课程分别占总人数的比例：第一，条件①直接给出了文艺课占全班总人数的$\frac{1}{5}$；第二，条件③说明了文艺课比体育课少占总人数的$\frac{4}{15}$，据此可以算出体育课的占比。因此需要选择信息①和③，先计算体育课的占比，再将两类课程的占比相加即可得到最终结果。
【解析】
选择的信息是①③。
1. 计算体育课人数占全班总人数的比例：
$\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=\frac{3}{15}+\frac{4}{15}=\frac{7}{15}$
2. 计算文艺课和体育课人数总共占全班总人数的比例：
$\frac{1}{5}+\frac{7}{15}=\frac{3}{15}+\frac{7}{15}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$
【答案】
选择的信息是①③，参加文艺课和体育课的人数共占全班总人数的$\frac{2}{3}$。
【知识点】
异分母分数加减法，分数实际应用
【点评】
本题需要先结合问题筛选有用的已知条件，再根据数量关系列式计算，计算异分母分数加减法时要先通分再计算，最终结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7
要解决“参加文艺课和体育课的人数共占全班总人数的几分之几”的问题，首先需要获取两类课程分别占总人数的比例：第一，条件①直接给出了文艺课占全班总人数的$\frac{1}{5}$；第二，条件③说明了文艺课比体育课少占总人数的$\frac{4}{15}$，据此可以算出体育课的占比。因此需要选择信息①和③，先计算体育课的占比，再将两类课程的占比相加即可得到最终结果。
【解析】
选择的信息是①③。
1. 计算体育课人数占全班总人数的比例：
$\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=\frac{3}{15}+\frac{4}{15}=\frac{7}{15}$
2. 计算文艺课和体育课人数总共占全班总人数的比例：
$\frac{1}{5}+\frac{7}{15}=\frac{3}{15}+\frac{7}{15}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$
【答案】
选择的信息是①③，参加文艺课和体育课的人数共占全班总人数的$\frac{2}{3}$。
【知识点】
异分母分数加减法，分数实际应用
【点评】
本题需要先结合问题筛选有用的已知条件，再根据数量关系列式计算，计算异分母分数加减法时要先通分再计算，最终结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7
两根铁丝分别长 24 m 和 36 m,现在要把它们剪成若干根同样长的铁丝,并且没有剩余,则每根铁丝最长有多长?一共能剪多少根?
答案
每根铁丝有 12 m 长,一共能剪 5 根。
解析
【分析】
要把两根不同长度的铁丝剪成同样长且没有剩余，说明每小段的长度是24和36的公因数；要求每根铁丝最长，就是求24和36的最大公因数。得到每小段的长度后，分别用两根铁丝的总长度除以每小段长度，得到各自剪成的段数，相加就能算出总根数。
【解析】
第一步：求24和36的最大公因数，用短除法计算：
先同时除以公因数2，得12和18；再同时除以公因数2，得6和9；再同时除以公因数3，得2和3，此时2和3互质，没有除1外的公因数。
所以24和36的最大公因数为：$2×2×3=12$，即每根铁丝最长12m。
第二步：计算总根数：
24m长的铁丝可剪：$24÷12=2$（根）
36m长的铁丝可剪：$36÷12=3$（根）
总根数：$2+3=5$（根）
【答案】
每根铁丝最长12m，一共能剪5根。
【知识点】
1.最大公因数计算
2.公因数实际应用
【点评】
本题是公因数相关的典型生活应用题，解题关键是理解“剪成同样长无剩余且最长”的含义就是求两个数的最大公因数，掌握最大公因数的计算方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要把两根不同长度的铁丝剪成同样长且没有剩余，说明每小段的长度是24和36的公因数；要求每根铁丝最长，就是求24和36的最大公因数。得到每小段的长度后，分别用两根铁丝的总长度除以每小段长度，得到各自剪成的段数，相加就能算出总根数。
【解析】
第一步：求24和36的最大公因数，用短除法计算：
先同时除以公因数2，得12和18；再同时除以公因数2，得6和9；再同时除以公因数3，得2和3，此时2和3互质，没有除1外的公因数。
所以24和36的最大公因数为：$2×2×3=12$，即每根铁丝最长12m。
第二步：计算总根数：
24m长的铁丝可剪：$24÷12=2$（根）
36m长的铁丝可剪：$36÷12=3$（根）
总根数：$2+3=5$（根）
【答案】
每根铁丝最长12m，一共能剪5根。
【知识点】
1.最大公因数计算
2.公因数实际应用
【点评】
本题是公因数相关的典型生活应用题，解题关键是理解“剪成同样长无剩余且最长”的含义就是求两个数的最大公因数，掌握最大公因数的计算方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
